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Développement limité

Posté par Sangoku (invité) 09-11-05 à 18:50

Bonsoir à tous, je cherche à savoir si l'énoncé suivant est correct ou non sans succès .
Le voici:
Si f est une fonction définie au voisinage de 0 telle que f vérifie que pour tout x voisin de 0, f(x)3+f(x)= 2+4x alors, s'il exite, son DL en 0 vaut : f(x)=1+x+x²/2+x²(x).
Je ne vois pas d'autres moyen que de partir de la formule de f et de la remplacer dans f(x)3+f(x). Est-ce-que cela est correct?
Merci beaucoup

Posté par
franzre : Développement limité 09-11-05 à 18:52

Oui.

Posté par Sangoku (invité)re : Développement limité 09-11-05 à 21:06

Bonsoir, merci de m'aider.
Je peux alors mettre que f(x)3+f(x)=(1+x+x²/2+x²(x))3+1+x+x²/2+x²(x).
Je developpe tout ca.
Ca me donne:
f(x)3+f(x)=1+3x+9x²/2+x²(x)+1+x+x²/2+x²(x)
f(x)3+f(x)=2+4x+5x²+x²(x)
Donc on vérifie f(x)3+f(x)=2+4x pour tout x voisin de0, donc c'est exacte.
Est-ce juste?
merci

Posté par
franzre : Développement limité 09-11-05 à 22:05

Ce n'est pas comme ça qu'il faut procéder (on ne part pas de la solution dans ce type d'exercices).

En supposant que f admet un DL à l'odre 2 en 0

\array{f(x)&=&a&+&bx&+&cx^2&+&x^2\varepsilon(x)\\ f^3(x) & = & a^3&+&3a^2bx & + &3(a^2 c+ab^2)x^2&+&x^2\varepsilon(x) \\ \hline f(x)+f^3(x) & = &a+a^3 & + &(b+3a^2b)x &+&(c+3a^2c+3ab^2)x^2 &+& x^2\varepsilon(x) }

Donc \{\array{ccl$ a+a^3 &=& 2 \\ b(1+3a^2)& = & 4 \\ c(1+3a^2)+3ab^2 & = & 0}


\red \bullet Cherchons d'abord les solutions de la première équation.

a^3+a-2 = 0 \; \Longleftrightarrow \; (a-1)(a^2+a +2)= 0

le trinôme a^2+a +2 n'admet pas de racine réelle donc \red \Large a=1 est l'unique solution.

\red \bullet La seconde équation devient donc  4b = 4 donc \red \Large b=1

\red \bullet La 3°équation devient enfin 4c + 3 = 0 donc \red \Large c=-\frac 3 4

Je ne retombe pas exactement sur l'équation que tu donnes (terme en x^2). Je pense que c'est lié à une erreur d'énoncé.


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