DL₀ de (1 + t)^a ?

Bonjour,
il y a deux DL en zéro à utiliser :





Ils sont poussés plus loin que ce dont on a besoin pour répondre à la question.

PS.
J'espère que tu cherches bien un DL en 0.

Merci, enfaite j'ai fini par trouver, je me compliquait beaucoup la vie. oui c'est en 0, au final je trouve:
1/2(1-x/2+x²/2-x³/8)+o(x³)

est ce bien cela ?

Oui.

Ensuite, je dois trouver le DL en +infini
on pose X=1/x
on exprime f(X) et trouve f(X)=f(x) si x>0,donc pour tout x en +infini.
Donc on en déduit que c''est le même DL car si x tend vers +infini, X tend ers 0.
Mon raisonnement est il correct ?

Ensuite, par contre je dois trouver un DL en -infini et je ne vois pas bien comment m'y prendre, enfin
j'ai que en posant X=1/x une nouvelle fois, on a f(x)=(racine(1+X²)/(-1-X+racine(1+X²))
On pose donc g(X)=(racine(1+X²)/(-1-X+racine(1+X²))
et on cherche maintenant à trouver un DL en 0 de g(X).
Suis-je sur la bonne voie ?

Ton raisonnement est presque correct, il ne faut pas oublier de remplacer X par 1/x.

En :
tu auras du mal à trouver un DL de g en 0 car qui n'est pas un nombre réel.

Merci, mais comment faut il s'y prendre alors ?

J'ai reverifier mes calculs et la fonction g semble correct si on effectue le changement de variable suivant: X=1/x
j'ai penser a faire un autre changement de variable comme X=1/x+1 ou X=1/x² etc mais cela ne donne vraiment rien.

J'en déduis qu'on ne t'as jamais montré comment faire ...

Disons, à partir de g en 0 :

on met 1/ x en facteur :



Puis on fait un DL en zéro de

A vrai dire, c'est la première fois que je travaille sur des DL en l'infini.
Merci beaucoup pour votre aide !

En général, on appelle ça des développements asymptotiques, bien qu'il n'y ai pas de différences fondamentales avec des DL en a.

N'oublie pas que tu as fait un changement de variable.

Voilà finalement ce que j'obtiens ( je n'en suis pas certaine..)

j'ai g(x)=(racine(1+X²)/(-1-X+racine(1+X²))
=-1/X.((1+1/2X²)/(1-1/2X+1/8X³)

Je cherche le DL en 0 de ((1+1/2X²)/(1-1/2X+1/8X³)
je trouve 1+1/2X +1/2 X²+ 3/8 X³)

Je multiplie ce DL par -1/X
Je trouve -1/X-1/2-1/2X +o(X) a l'ordre 1 en 0.
Comme X=1/x et g(X)=f(x)
si x tend vers -infini, X tend vers 0-
Donc DL0(g(X))=DL-infini(f(x))
f(x)=-1/X-1/2-1/2X +o(X)

Je ne suis pas tout à fait d'accord. Il faut remplacer x par 1/x.

Je trouve, au voisinage de zéro


J'en déduit qu'au voisinage de



Sauf erreur de calcul de ma part.

Bonjour, vous aviez raison. Je n'avais pas bien compris la méthode, même si j'avais fais les grandes lignes grace à votre aide. Suite a la correction tout est beaucoup plus clair maintenant.Même si je vais devoir m'entrainer pour bien avoir la méthode en tête.
merci de votre aide.
Bonne soirée