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Développement limité

Posté par
flynice 13-03-18 à 21:58

Bonjour,
Je dois trouver la limite en 0 de ( 1+ tan(x) )^{\frac{1}{sin(x)}} et j'éprouve quelques problèmes.
Alors on pose d'abord ( 1+ tan(x) )^{\frac{1}{sin(x)}} = e^{\frac{ln(1+ tan(x))}{sin(x)}.
Puis, en notant u = tan(x) :
ln(1+u) .\frac{1}{sin(x)} = (u - \frac{u^2}{2} + \o  (u)) * (\frac{1}{x} + \frac{x}{6} + \o (x)) =  (x - \frac{x^2}{2} + \o  (x)) * (\frac{1}{x} + \frac{x}{6} + \o (x)) = 1 - \frac{x}{2} + \o (x) = v \\
Puis :
e^v = 1 + v + \o (v) = 1 + (1 - \frac{x}{2} + \o (x)) + (... ) .
Ce qui est relativement inhabituel.
Sur Geogebra, on trouve une limite en 0 de 2.72 environ.
Merci d'avance pour votre soutien

Posté par
jsvdbre : Développement limité 13-03-18 à 22:07

Bonjour flynice.

La limite Geogebra s'explique de façon simple :

f(x) = \exp \left( \dfrac{1}{\sin(x)} \ln(1 +\tan(x)) \right)

En 0 : \sin(x) \sim x \text{ et }\ln (1 + \tan(x)) \sim \tan(x) et \dfrac{\tan(x)}{x} tend vers 1 en 0 et donc l'exponentielle vers e^1 = 2,718281 ...

Posté par
larrechre : Développement limité 13-03-18 à 22:09

Bonsoir;

La limite en question ne serait-elle pas 2,7182818... etc, nombre transcendant usuellement noté e ?

A l'avant dernière ligne on voit que v\mapsto 1, donc   e^v\mapsto e

Posté par
larrechre : Développement limité 13-03-18 à 22:11

Désolé, tout était déjà dit...

Posté par
verdurinre : Développement limité 13-03-18 à 22:13

Bonsoir,
e12,72.

Une méthode possible pour démontrer le résultat :
on pose u=\sin x et il vient \tan x=\frac{u}{1-u^2}.

Ensuite des DL en 0 permettent vraisemblablement de conclure.

Note : je n'ai pas fait les calculs.

Posté par
flynicere : Développement limité 13-03-18 à 22:16

Merci beaucoup et bonne soirée !


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