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Développement limité

Posté par
Liliana27
18-04-24 à 23:33

Bonjour,
je recontre des difficultés à calculer un développement limité.
Voici l'énoncé :

Calculer le DL3(0) : f(x) = 1+cos(x)

J'ai réalisé le développement à partir de la formule Taylor Young en dérivant et j'obtiens le résultat suivant :
1+cos(x) = 2  - x2/ 42 + o(x4)

Cependant, lorsque je souhaite réaliser un calcul à partir de DL usuels, en remplçant cos(x) pour utiliser le DL de 1+x je trouve un résultat différent :

On pose : u = cos(x)
On a : (1+u)^(1/2) = 1 + u/2 - u2/8+3u3/16 + o(u4

Mais, u = cos(x) = 1 - x2/2 + o(x4)
Donc : u2 = (cos(x))2 = 1 - x2 + o(x4)
u3 = (cos(x))3 = 1 - 3x2/2 + o(x4)

Par remlacement, on obtient :

1+cos(x) = 25/16 - 9x2/32 + o(x4)

Posté par
Balam
re : Développement limité 19-04-24 à 00:16

Salutations Liliana27,

Ton premier calcul est bon.
Cependant, comme \cos 0 = 1, il faut composer le DL de \cos en 0 avec le DL de \sqrt{1+u} en 1, pas en 0.

Cordialement.

Posté par
Ulmiere
re : Développement limité 19-04-24 à 12:07

C'est-à-dire, écrire

\sqrt{1+\cos x} = \sqrt{2 - (1-\cos x)} = \sqrt{2}\sqrt{1 - \frac{1-\cos x}{2}}

Et là tu as bien quelque chose de la forme \sqrt{1-u} qui apparait, avec u qui tend vers 0

Posté par
Liliana27
re : Développement limité 20-04-24 à 00:58

Merci beaucoup pour votre aide !

J'ai compris ce qui n'allait pas, mais je fais une erreur que je n'arrive pas à trouver :

On pose : u = \frac{1}{2}(1-cos(x))
On a : 1-u = 1 - u/2 - u2/8 - u3/16 + o(x4)
On sait que : u2= o (x4)
u3 =  o (x4)

Par remplacement, on obtient :
1+cos(x) = 2 [1-x2/8 + o(x4) ]

Posté par
verdurin
re : Développement limité 20-04-24 à 15:32

Bonjour,
en fait on peut vérifier que u=sin2(x/2).
Et u2 n'est pas négligeable devant x4.
Ton résultat serait juste si tu remplaçais o(x4) par o(x3).

Posté par
Liliana27
re : Développement limité 22-04-24 à 08:56

D'accord, je vous remercie !



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