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Développement limité

Posté par
savagepint
11-06-24 à 12:09

Salut
Je voulais savoir comment on fait pour résoudre le dl de  ln(1+1/(x+1)) au point x=0 à l'ordre 4

Posté par
larrech
re : Développement limité 11-06-24 à 12:29

Salut,

Il faut te ramener à des formes du type \ln(1+u) au voisinage de 0.

Pour cela, il faut transformer l'expression  donnée dans l'énoncé.

Posté par
savagepint
re : Développement limité 11-06-24 à 12:42

J'ai essayé ce que vous m'avez dit mais est-ce que je pourrais avoir une application de ce que vous m'avez dit comme ça je pourrais vérifier si j'ai trouvé où pas

Posté par
larrech
re : Développement limité 11-06-24 à 12:49

Pour démarrer:

\ln(1+\dfrac{1}{1+x})= \ln(2+x)-\ln(1+x), etc.

Donne ton résultat , ou mieux, tes calculs, je te dirai ce qu'il en est.

Posté par
savagepint
re : Développement limité 11-06-24 à 13:18

ln(1+1/(x+1))=ln(2-x+x²-x³+x⁴)
=ln(2)+ln[1-(x/2)+(x²/2)-(x³/2)+(x⁴/2)
=ln(2)+ln(1+T) avec T=-(x/2)+(x²/2)-(x³/2)+(x⁴/2)
=ln(2)+T-(T²/2)+(T³/3)-(T⁴/4)
En remplaçant T par sa valeur on a comme résultat
ln(2)-(x/2)+(3x²/8)-(7x³/24)+(15x⁴/64)

Posté par
larrech
re : Développement limité 11-06-24 à 13:45

C'est exact. Ne pas oublier d'indiquer le que le reste est négligeable devant x^4,

Posté par
savagepint
re : Développement limité 11-06-24 à 13:50

Merci

Posté par
larrech
re : Développement limité 11-06-24 à 13:55

En fait je suggérais un mode de calcul un peu différent en développant, à l'ordre requis,  chacun des termes en x de:

\ln(2) +\ln(1+\dfrac{x}{2}) -\ln(1+x), puis en faisant la somme terme à terme.

Posté par
savagepint
re : Développement limité 11-06-24 à 14:44

Excusez moi mais est ce que vous pouvez m'éclaircir

Posté par
larrech
re : Développement limité 11-06-24 à 15:00

\ln(2)=\ln(2)
\ln(1+x/2) =(x/2)+\dfrac{(x/2)^2}{2}+\dfrac{(x/3)^3}{3}-\dfrac{(x/4)^4}{4}+o(x^4)
-\ln(1+x)= -x+\dfrac{x^2}{2}-\dfrac{x^3}{3}+\dfrac{x^4}{4}+o(x^4)

et on additionne membre à membre ces 3 égalités.

Posté par
savagepint
re : Développement limité 11-06-24 à 15:10

En fait je sais comment on fait pour résoudre ce vous m'avez proposé mais ce que je ne comprends pas c'est comment vous avez fait pour obtenir
ln(2)+ln(1+(x/2))-ln(1+x)

Posté par
larrech
re : Développement limité 11-06-24 à 15:23

Simple réduction au même dénominateur dans le log

1+\dfrac{1}{1+x} =\dfrac{1+x+1}{1+x} =\dfrac{2+x}{1+x}, d'où

\ln(1+\dfrac{1}{1+x})= \ln (\dfrac{2+x}{1+x})=\ln(2)+\ln(1+(x/2))-\ln(1+x)

Posté par
savagepint
re : Développement limité 11-06-24 à 15:25

Ah oui 😂
Merci pour tout

Posté par
larrech
re : Développement limité 11-06-24 à 15:25

De rien

Posté par
larrech
re : Développement limité 11-06-24 à 15:30

J'en profite pour rectifier ce que, emporté par mon élan,  j'ai écrit à  15h00 pour la ligne du milieu

\ln(1+x/2) =(x/2)-\dfrac{(x/2)^2}{2}+\dfrac{(x/2)^3}{3}-\dfrac{(x/2)^4}{4}+o(x^4)

Posté par
carpediem
re : Développement limité 11-06-24 à 19:21

salut

une petite remarque :

savagepint @ 11-06-2024 à 13:18

ln(1+1/(x+1))=ln(2-x+x²-x³+x⁴)
=ln(2)+ln[1-(x/2)+(x²/2)-(x³/2)+(x⁴/2)
=ln(2)+ln(1+T) avec T=-(x/2)+(x²/2)-(x³/2)+(x⁴/2)
=ln(2)+T-(T²/2)+(T³/3)-(T⁴/4)
En remplaçant T par sa valeur on a comme résultat
ln(2)-(x/2)+(3x²/8)-(7x³/24)+(15x⁴/64)

cette suite d'égalités est fausse car il manque un o(x^4) ou un r(x) qui désigne "le reste" ...



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