Niveau Licence-pas de math

Développement limité de arccos(1-x) ?

Posté par
melvinnga 16-04-20 à 15:36

Bonjour,

Je suis face à un problème d'analyse sur lequel je me penche maintenant depuis 2 jours mais je ne sais toujours pas comment le résoudre. Je dois déterminer le développement limité de arccos(1-x) à l'ordre 2 et arccos(x) n'étant pas une fonction avec un développement limité usuelles je ne sais pas comment faire.

Je vous remercie d'avance du temps et de l'aide que vous allez m'accorder pour m'aider,

Melvin

Posté par re : Développement limité de arccos(1-x) ? 16-04-20 à 16:18

Bonjour
dl au voisinage de quel point ?

Posté par re : Développement limité de arccos(1-x) ? 16-04-20 à 16:29

Bonjour

Je suppose qu'on demande  un DL au voisinage de 0^+.

Une possibilité est de faire comme ceci.

On  pose $g(u)=arcos(1-u^2)  , u \in  [0,1]$

Alors pour u>0  on a $g'(u)=\dfrac{2}{\sqrt{2-u^2}}$

On montre que g est dérivable en 0  et que g est de classe $C^1$ et même plus quand on voit g'.

On a donc l'existence d'un DL de g  est le calcul de ce DL par les moyens classiques.

Il reste à la fin à remplacer u par $\sqrt{x}$

Posté par re : Développement limité de arccos(1-x) ? 16-04-20 à 16:30

Rebonjour $lafol, pas vu ton message.

Posté par re : Développement limité de arccos(1-x) ? 16-04-20 à 16:44

Ah oui effectivement je suis désolé j'ai oublié quelque précisions on se situe sur $\mathbb{R}^*_+\rightarrow \mathbb{R}$
et on veut son DL au voisinage de 0

Posté par re : Développement limité de arccos(1-x) ? 18-04-20 à 10:01

Bonjour,

Je m'excuse de vous répondre uniquement maintenant, mais je n'ai pas compris votre démonstration XZ19.

Posté par re : Développement limité de arccos(1-x) ? 18-04-20 à 10:28

Bonjour,
une variante de ce qu'a proposé XZ19 :

On pose $t=\arccos(1-x)$ d'où $x=1-\cos(t)=2\sin^2(t/2)$

On en déduit $t=2\arcsin\sqrt{x/2}$ et on utilise le développement limité de $\arcsin$ (que l'on obtient à partir de celui de sa dérivée).