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Développement limité en 0
Bijour
J'ai un petit problème déjà de compréhension de l'énoncé et de méthode aussi si toutefois j'ai compris comme il faut...
On s'intéresse à la fonction f(x) = V(1+2x).ln(1+2x), avec V = racine carrée
Son développement limité à l'ordre 3 en 0 est: f(x) = 2x - x^3/3 + o(x^3)
1)Expliquer pourquoi la fonction f(x)=1/n admet pour tout entier n naturel n non nul une solution unique Xn.
2)Donner le développement limité en 0 à l'ordre 3 de Xn, en puissance de 1/n quand n tend vers l'infini.
J'ai pas compris comment exprimer Xn... C'est bien f(Xn)=1/n, non?
Pour démontrer la 1), cela ne suffit-il pas de dire que 1/n est fonction strictement décroissante et continue donc monotone (car n supérieur à 0 et entier naturel) et qui d'après un certain théoréme admet une seule solution pour tout Xn pour tout n supérieur à 0...
Merci de votre aide!
Bonsoir.
1°) Il te faut étudier la fonction f. Tu verras f' est assez simple. Tu découvriras que f est une bijection strictement croissante de R+ sur R+. Donc 1/n admet un antécédent et un seul xn.
Sur R+ : xn = f-1(1/n).
A mon avis, il faut utiliser la dérivation de la fonction réciproque.
A plus RR.
J'ai déjà fait l'étude de f(x) et comme 1/n est toujours supérieur à zéro, f(x)=1/n est strictement croissante. Donc pour démontrer f(x)=1/n admet une seule solution Xn pas de problèmes.
Maintenant j'ai déjà du calculer le dl3(0) de la fonction réciproque à fx) et f-1(x) = x/2 + x^3/48 + o(x^3).
Comme Xn = f-1(1/n) alors il suffit de dire Xn = 1/(2n) + 1/(48n^3) + o(1/n^3) ?
Serait-ce aussi simple?
Mici beaucoup pour l'aide en tout cas!
Bonsoir.
Effectivement, si tu as calculé les dérivées successives de f-1, tu n'as plus qu'à remplacer par 1/n.
A plus RR.
Bonjour, bonsoir selon l'heure 
Juste pour dire merci beaucoup ^^!
Rebonjour... à vrai dire j'ai encore une petite question ^^
Dans l'énoncé il est précisé que l'on souhaite le dl3 de Xn quand n tend vers l'infini.
Et Xn = f-1(1/n) Comme n tend vers l'infini, 1/n tend vers 0.
Est-ce donc bien le dl3(0) de Xn?
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