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développement limité et fonctions
J'ai une fonction de classe C^2 sur l'intervalle fermé a,b avec a<b et f(a)=f(b)=0
de plus xo est un élément de l'intervalle a,b ouvert avec f(xo)
0
il faut que je montre qu'il existe un seul polynôme P de degré 2 tel que: P(a)=P(b)=0 et P(xo)=f(xo)
Existe-t-il une relation entre le degré 2 et la fonction f de classe C^2 parce que je ne vois pas comment montrer l'existence avec ces conditions.
Ensuite il faut que je montre qu'il existe un c qui appartient à l'intervalle ouvert a,b en utilisant la fonction f-P tel que:
f(xo)=(((xo-a)(xo-b))/2)*f''(c)
pour cette question j'ai pensé au développement limité mais je n'arrive pas à sortir c de la relation que l'on donne vu que je n'ai pas la fonction f et qu'ici on me parle de sa dérivée seconde.Comment je peux avec le polynôme montrer l'existence de c?
merci d'avance de votre aide
Pour la première question :
On pose .
On cherche les valeurs de .
On remplace pour trouver des équations. La première équation va être
, ie
.
Pour savoir si le système obtenu admet une unique solution, il faut montrer que le déterminant de la matrice est non nul.
merci beaucoup pour l'idée de résolution j'ai commencé a trouver les équations
g P(
)=0 ce qui équivaut a 
^2++
=0
et p()=f(xo) ce qui équivaut à ^2++=f(xo)
j'obtient une matrice du type:
[ ^2 1
^2 1
^2 1]
mais je ne suis pas sure de cette matrice.
Si je calcule le determinant je trouve bien une valeur non nulle mais celle-ci n'est peut être pas juste si la matrice que j'ai trouvée est incorrecte.
Pouvez-vous me dire si j'ai commis des erreurs
Mes notations n'étaient peut-être pas très claires.
J'ai utilisé des lettres grecques pour désigner des inconnues.
Les équations sont :
La matrice n'utilise que les lettres de l'énoncé (cf ton premier post)
Pour information, c'est une matrice de Vandermonde. On peut montrer que, pour une matrice :
si mes souvenirs sont bons.
encore merci je viens de comprendre!
le determinant de la matrice de vandermonde est
(j-i)
donc en le calculant je trouve (b-a)(xo-a) ce qui est égal à a^2-(a-b)xo-ab
je pense que c'est non nul a moins que a=b=0 mais on a dans l'énoncé p(a)=p(b)=0 donc le determinant est non nul donc on a bien un polynôme du second degrè qui existe.
indiquez moi juste si la fin du raisonnement est juste.merci beaucoup de votre aide
Dans ton cas, le déterminant est égal à :
. Il te manque un facteur.
Il est non nul car :
et
, intervalle ouvert.
merci beaucoup d'avoir pris un peu de ton temps pour m'aider. Je vais essayer de faire la suite
bonne fin d'après midi
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