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Développement limité tan(x)

Posté par
mwa1 11-02-13 à 16:28

Bonjour,

Je ne sais pas bien comment m'y prendre pour le développement limité de tan(x)  (en zero et d'ordre 3)

j'ai essayé en faisant :

sin(x) = x - \frac{X^3}{6} + g(x)  

cos(x) = 1 - \frac{x^2}{2} + h(x)    

tan(x) = \frac{x - \frac{X^3}{6}+ g(x)}{1 - \frac{x^2}{2}+ h(x)}

mais je sais pas quoi faire de ça...

Comment on fait ?

Posté par
Camélia Correcteurre : Développement limité tan(x) 11-02-13 à 16:31

Bonjour

D'abord tu écris correctement les restes. Ensuite, 1/cos(x) est ede la forme 1/(1+u) av ec u tendant vers 0, tu dois savoir développer.

Tu peux aussi appliquer directement la formule de Taylor, puisque 3 est un petit ordre, mais c'est moins instructif...

Posté par
mwa1re : Développement limité tan(x) 11-02-13 à 16:45

Citation :
Tu peux aussi appliquer directement la formule de Taylor


C'est comme ça que j'ai fait, il y a une autre méthode ?


Citation :
D'abord tu écris correctement les restes


Ca veut dire quoi "correctement" ? D'après  wikipédia, il y a les restes de Taylor-Young, Taylor-Lagrange et Taylor-Laplace

Posté par
Camélia Correcteurre : Développement limité tan(x) 11-02-13 à 16:51

Ca veut dire que +g(x) n'a aucun sens. Tu peux écrire +x^3u(x) avec \lim_{x\to 0}u(x)=0, le plus sur! Ou encore o(x^3) si tu connais les notations de Landau.

Et oui, je t'ai donné une autre méthode, au début de mon post...

Posté par
Pierre_Dre : Développement limité tan(x) 11-02-13 à 17:13

Bonjour ,
Et pourquoi pas la simple division euclidienne "ascendante" (je ne sais pas trop si c'est le terme consacré) ?

Posté par
Camélia Correcteurre : Développement limité tan(x) 11-02-13 à 17:15

On appelle ça division par puissances croissantes! et curieusement, c'est rarement enseigné!

Posté par
mwa1re : Développement limité tan(x) 11-02-13 à 17:16

Je ne comprends pas...

En quoi   \frac{1}{cos(x)}    est de la forme    \frac{1}{1+u}  ?

Et si je réécris    tan(x) = \frac{x-\frac{x^3}{6}+o(x^3)}{1-\frac{x^2}{2}+o(x^3)}

Qu'est-ce que ça change ?

Posté par
Camélia Correcteurre : Développement limité tan(x) 11-02-13 à 17:21

\dfrac{1}{\cos(x)}=\dfrac{1}{1-(x^2/2)+o(x^3)}

Pose u(x)=-(x^2/2)/2+o(x^3)

Posté par
Pierre_Dre : Développement limité tan(x) 11-02-13 à 17:30

Merci Camelia ;
C'est pourtant d'une simplicité biblique, surtout dans l'autre sens, et je souffre quand je vois des élèves batailler des heures pour trouver que :  \small \dfrac{x^4+3x^2-x+5}{x+1}=x^3-x^2+4x-5+\dfrac {10}{x+1}

Posté par
Camélia Correcteurre : Développement limité tan(x) 11-02-13 à 17:35

Oui, Pierre_D je sais! L'euclidienne normale a tout un substrat théorique et algorithmique; alors qu'un truc qui peut ne pas s'arrêter fait très peur... Moi je l'enseignais, surtout pour les décomposition en éléments simples avec pôles d'ordre de multiplicité élevé, ou c'est vraiment imbattable.

Mais pour la tangente à l'ordre 3...

Posté par
Pierre_Dre : Développement limité tan(x) 11-02-13 à 18:01

Mais pour la tangente ... Quand j'étais en taupe il y a quelque temps, on connaissait son D.L. à l'ordre 5 par coeur ; si on l'avait oublié, on le reconstituait par la division .

Posté par
mwa1re : Développement limité tan(x) 11-02-13 à 18:02

Il faut prendre le DL du DL de   \frac{1}{cos(x)}   en fait ?

Je prends   \frac{1}{cos(x)} = \frac{1}{1+u}   avec   u = -\frac{x^2}{2}+o(x^3)  

et   \frac{1}{1+u} = 1-u+u^2-u^3+o(u(x)^3)   

donc   \frac{1}{cos(x)} = 1-(-\frac{x^2}{2}+o(x^3))+(-\frac{x^2}{2}+o(x^3))^2-(-\frac{x^2}{2}+o(x^3))^3+o((-\frac{x^2}{2}+o(x^3))^3)

c'est ça ?

Posté par
Pierre_Dre : Développement limité tan(x) 11-02-13 à 18:04

Oui, c'est ça : bien vu et bien écrit ...

Posté par
mwa1re : Développement limité tan(x) 11-02-13 à 18:22


Et qu'est ce que je fais avec tout ces o(x^3), je les néglige ?

Si je développe ça donne   1+\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{4}
alors que ça devrait faire   1+\frac{x^2}{2}+\frac{5x^4}{24}

Et pour avoir le DL de tan(x) je multiplie celui de \frac{1}{cos(x)} par celui de sin(x)  ?

Posté par
Pierre_Dre : Développement limité tan(x) 11-02-13 à 18:27

a) n'oublie pas que tu as en fait des x4 dans le o(x3) de la première parenthèse : pas d'affolement
b) oui, tu multiplies

Posté par
mwa1re : Développement limité tan(x) 11-02-13 à 18:42

Comment ça des x^4, ils viennent d'où ?    o(x^3)  ç'est une fonction de degré 3 qui tend vers zero, non ?

Posté par
Pierre_Dre : Développement limité tan(x) 11-02-13 à 23:04

Non.

Posté par
mwa1re : Développement limité tan(x) 12-02-13 à 09:45

C'est quoi alors ? et comment on les manipule ?

Posté par
J-P Posteur d'énigmesre : Développement limité tan(x) 12-02-13 à 10:27

f(x) = tan(x)

f'(x) = 1/cos²(x)
f''(x) =  2.cos(x).sin(x)/cos^4(x) = 2.sin(x)/cos³(x)
f'''(x) = 2(cos^4(x) + 3cos²(x).sin²(x))/cos^6(x) = 2(cos²(x) + 3.sin²(x))/cos^4(x)

f(0) = 0
f'(0) = 1
f''(0) = 0
f'''(0) = 2

DL : tg(x) = x + 2x³/3! + o(x³)

tg(x) = x + x³/3 + o(x³)

Sauf distraction.  

Posté par
mwa1re : Développement limité tan(x) 12-02-13 à 10:40

Oui en effet avec cette méthode j'ai réussi, mais j'aimerais comprendre
comment on manipule les "restes" par exemple quand je dois multiplier le DL de    sin(x)    par celui de   \frac{1}{cos(x)}

Posté par
Pierre_Dre : Développement limité tan(x) 12-02-13 à 12:58

Citation :
o(x^3)  ç'est une fonction de degré 3 qui tend vers zero, non ?
Mais non,  \small o(x^3) représente l'ensemble des fonctions f de x telles que  \small\dfrac{f(x)}{x^3}\to 0\text{  quand }x\to 0  (ici f est un polynôme, donc sans puissances de x inférieures à 4 ).


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