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Développement limité / Théorème des fonctions implicites
Bonjour, je suis bloqué sur une question d'un exercice j'ai beau chercher un peu c'est toujours ce genre de question qui me bloque j'ai l'impression mais bon !
Voici l'énoncé :
On définit la norme sur un polynôme par le maximum entre |a_o|,…., |a_l| (qui sont les coefs de P ou
Soit et
tel que
et
.
J'ai montré avec le théorème des fonctions implicites qu'il existe U (resp V ouvert de R (resp ) contenant
, (resp
) et une fonction Z de V dans R de classe C-infini tel que :
À noter que j'ai introduit pour le montrer, une fonction :
Je dois maintenant démontrer que :
Ma première idée est un développement limité, en P_o.
Des choses comme ça mais je manque cruellement de rigueur j'ai l'impression sur ces DL. Je me demandais si je devais pas partir pour un DL à l'ordre 2.
Si vous avez des idées je suis preneur.
Mon autre réflexe après le DL bancale, c'est que je reconnais la méthode de Newton :
, on introduit la fonction :
La recherche de x_o devient une recherche de points fixes.
En cherchant un peu du côté methode de Newton j'ai tenté un truc mais encore un peu bancal je le sens :
On cherche x tel que P(x) = 0 ainsi Z(P) = x
Et donc je remplace :
Mais bon
Et là si c'est bon ce que j'ai fait on voudrait remplacer par un
je suis tenté de croire que l'on peut puisque
Donc quelque part P -> P_o le petit o ça va être de même ordre que si x -> x_o pour l'autre petit o
Puis j'ai envie de dire c'est pareil puisque x-> x_o ça revient à dire que Z(P)-> Z(P_o) et par continuité de Z, P -> P_o
Je sens que y'a peut-être quelque chose comme ça !
salut
on aimerait connaitre les questions exactes et précises de l'énoncé et pas des "j'ai montré ... on me demande ..."
et plus généralement un énoncé propre, exact et complet (ou du moins une partie conséquente) et ensuite les réponses !!
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