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développement limités ...

Posté par
lyonnais 24-05-06 à 18:54

Bonjour à tous

Voila, je m'entraîne sur les développements limités, et je suis face à un exercice tout nouveau pour moi de part sa formulation, si bien que je ne sais pas trop comment l'aborder ... Pourriez-vous m'aider ?

Exercice :

Déterminer les réels a et b tels que   3$\rm u_n = \sqrt[3]{n^3+n^2+n+1}-\sqrt{n^2+1}+a+\frac{b}{n}   soit un infiniment petit ordre le plus élevé possible.

j'ai remarqué que n3+n²+n+1 = (n+1)(n²+1) , je ne sais pas si ça peut aider.

Merci d'avance pour vos aides ...

Posté par
kaiser Moderateurre : développement limités ... 24-05-06 à 18:57

Bonjour lyonnais

Ta remarque peut peut-être servir mais je conseille de factoriser les racines par n et ensuite d'utiliser le DL de \Large{(1+u)^{a}} en 0.

Kaiser

Posté par
lyonnaisre : développement limités ... 24-05-06 à 19:09

ok merci kaiser pour cette super aide !!

Donc :

3$\rm u_n = \sqrt[3]{n^3+n^2+n+1}-\sqrt{n^2+1}+a+\frac{b}{n}

3$\rm u_n = \sqrt[3]{n^3(1+\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}+\frac{1}{n^3})}-\sqrt{n^2(1+\frac{1}{n^2})}+a+\frac{b}{n}

3$\rm u_n = n(1+\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}+\frac{1}{n^3})^{1/3}-n(1+\frac{1}{n^2})^{1/2}+a+\frac{b}{n}

en faisant le calcul, je trouve :

3$\rm (1+\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}+\frac{1}{n^3})^{1/3} = \frac{1}{n}+\frac{1}{3}+\frac{2n}{9}+\frac{14n^2}{81}-\frac{46n^3}{243}+o(n^3)

3$\rm (1+\frac{1}{n^2})^{1/2} = \frac{1}{x}+\frac{x}{2}-\frac{x^3}{8}+o(x^3)

En supposant que mes calculs soient exact ( ce qui est loin d'être sur ) , comment faire ensuite ?

Posté par
lyonnaisre : développement limités ... 24-05-06 à 19:11

Citation :
3$\rm (1+\frac{1}{n^2})^{1/2} = \frac{1}{x}+\frac{x}{2}-\frac{x^3}{8}+o(x^3)


faute de frappe, c'est pas des x mais des n

3$\rm (1+\frac{1}{n^2})^{1/2} = \frac{1}{n}+\frac{n}{2}-\frac{n^3}{8}+o(n^3)

Posté par
kaiser Moderateurre : développement limités ... 24-05-06 à 19:19

y'a un problème !
Tu ne peux pas te retrouver avec des \Large{o(n^{3})}.
D'ailleurs, dans ta dernière expression, le terme de gauche tend vers 1 alors que celui de droite tend vers l'infini. Bizarre, non ?

Posté par
lyonnaisre : développement limités ... 24-05-06 à 19:30

Oups, je crois que je me suis littéralement planté

Je viens de m'appercevoir d'un truc ... On fait le calcul quand n tend vers l'infini nan ?

Donc en fait, pour faire le calcul, il faut que je poses x = 1/n (x tend vers 0+ )

3$\rm (1+x+x^2+x^3)^{1/3} = 1+\frac{x}{3}+\frac{2x^2}{9}+\frac{14x^3}{81}+o(x^3)

d'où :

3$\rm (1+\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}+\frac{1}{n^3})^{1/3} = 1+\frac{1}{3n}+\frac{2}{9n^2}+\frac{14}{81n^3}+o(\frac{1}{n^3})

et :

3$\rm (1+x^2)^{1/2} = 1+\frac{x^2}{2}-\frac{x^4}{8}+o(x^4)

d'où :

3$\rm (1+\frac{1}{n^2})^{1/2} = 1+\frac{2}{n^2}-\frac{1}{8n^4}+o(\frac{1}{n^4})

C'est mieux ? comment faire ensuite si c'est bon ?

merci pour ton aide

Posté par
kaiser Moderateurre : développement limités ... 24-05-06 à 19:45

Je suis d'accord avec toi pour ces calculs !
par contre, pour le second, tu peux t'arrêter à \Large{(1+\frac{1}{n^{2}})^{\frac{1}{2}}=1+\frac{2}{n^{2}}+o(\frac{1}{n^{3}})}.
Ensuite, il suffit de tout combiner pour trouver un développement asymptotique de \Large{u_{n}} du type \Large{u_{n}=\alpha n +\beta+\frac{\gamma}{n}+\frac{\delta}{n^{2}}+o(\frac{1}{n^{2}})}.

Posté par
lyonnaisre : développement limités ... 24-05-06 à 19:54

Merci, mais en fait le truc c'est que je ne comprend pas la question

3$\rm u_n = n(1+\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}+\frac{1}{n^3})^{1/3}-n(1+\frac{1}{n^2})^{1/2}+a+\frac{b}{n}

3$\rm u_n = n(1+\frac{1}{3n}+\frac{2}{9n^2}+\frac{14}{81n^3}+o(\frac{1}{n^3}))-n(1+\frac{x^2}{2}+o(\frac{1}{n^2}))+a+\frac{b}{n}

3$\rm u_n = \frac{1}{3}-\frac{16}{9n}+\frac{14}{81n^2}+a+\frac{b}{n}+o(\frac{1}{n^2})

Je doit en conclure quoi ?

( désolé si ma question est bête )

Posté par
kaiser Moderateurre : développement limités ... 24-05-06 à 19:57

En fait, la question qui t'es posée est de déterminer les réels a et b tels que l'on ait \Large{u_{n}=o(\frac{1}{n^{k}})} où k est un entier le plus grand possible.
Je ne sais pas si j'ai été clair !

Posté par
lyonnaisre : développement limités ... 24-05-06 à 20:00

donc ici en posant :

a = -1/3  et  b = 16/9

on a :

3$\rm u_n = \frac{14}{81n^2}+o(\frac{1}{n^2})

mais alors ce n'est pas du type :

\Large{u_{n}=o(\frac{1}{n^{k}})}

Posté par
kaiser Moderateurre : développement limités ... 24-05-06 à 20:01

Si avec k=1 !

Posté par
lyonnaisre : développement limités ... 24-05-06 à 20:04

Mais oui !!

Donc un développement à l'ordre 2 suffit pour :

3$\rm (1+\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}+\frac{1}{n^3})^{1/3}

et

3$\rm (1+\frac{1}{n^2})^{1/2}

C'est ça ?

Posté par
kaiser Moderateurre : développement limités ... 24-05-06 à 20:06

Oui !

Posté par
lyonnaisre : développement limités ... 24-05-06 à 20:09

ok, encore une fois, merci beaucoup kaiser :D

Merci de m'avoir consacré de ton temps ! Bonne soirée

Posté par
kaiser Moderateurre : développement limités ... 24-05-06 à 20:22

Mais je t'en prie !
Bonne soirée à toi aussi !


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