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Développement limités en pi/4

Posté par
elledu57
23-03-15 à 20:17

Bonjour,

Je dois calculer le développement limité en /4 à l'ordre 3 de la fonction f définie sur par f(x)=exp(cos(x))...
On a posé h=x-/4 et on obtient ainsi DL3 (h+/4): cos(h+/4)= 2/2(1-h-(h2/2)+(h3/6)+(h3)

Mais pouvait-on bien composer ? Que pouvons nous faire pour la suite ?

Merci d'avance !

Posté par
LeDino
re : Développement limités en pi/4 23-03-15 à 20:26

Du moment que tu écris des égalités tu peux tout faire.
En respectant bien la notation  o(h)  et ses propriétés, tu dois pouvoir y arriver...

Posté par
elledu57
re : Développement limités en pi/4 23-03-15 à 20:37

oui mais je n'arrive pas après avec exp

Posté par
LeDino
re : Développement limités en pi/4 24-03-15 à 00:13

\boxed{ h = x-\dfrac \pi 4 \sim 0 }

f(x) = e^{\cos x} = e^{\cos(h + \frac \pi 4)} = e^{\frac{\sqr 2}{2}(\cos h - \sin h)} = e^{\frac{\sqr 2}{2}\left(1 - h - \frac{h^2}{2} + \frac{h^3}{6} + o(h^3)\right)}

\implies f(x) = \left(e^{1+u}\right)^{\frac{\sqr 2}{2}} = \left( 1 + u + \dfrac{u^2}{2} + \dfrac{u^3}{6} + o(u^3) \right)^{\frac{\sqr 2}{2}}       avec :  u = - h - \frac{h^2}{2} + \frac{h^3}{6} + o(h^3) \sim -h \sim 0

... à développer avec soin. Et au final :  o(u^3) = o(h^3)
Bon courage ...

Posté par
luzak
re : Développement limités en pi/4 24-03-15 à 00:17

Bonsoir !
A LeDino : ton équivalent à 0 est bien dangereux.
Quant au calcul du développement limité d'un développement à la puissance \sqrt2 ce n'est pas le plus simple.
Sans compter que le développement de e^{1+u} n'est pas 1+u+...

Je te propose et tu choisiras :
En supposant exact le développement proposé pour \cos x tu écris
\exp(\cos x)=\exp(a+bh+ch^2+dh^3+o(h^3))=e^a e^{bh+ch^2+dh^3+o(h^3)}
et tu utilises ensuite e^{u(h)}=1+u(h)+\frac{u(h)^2}2+\frac{u(h)^3}6+o(u(h)^3).
Le dernier reste est AUSSI un o(h^3) car \lim_{h\to0}u(h)=0.
Ne pas oublier de remettre le facteur e^a après calcul.

Posté par
LeDino
re : Développement limités en pi/4 24-03-15 à 02:00

Oui j'ai effectivement oublié de sortir exp(1)... c'est une étourderie.
En revanche, mon équivalent à 0 tient la route.

Posté par
luzak
re : Développement limités en pi/4 24-03-15 à 07:55

Bonjour !
Pas d'accord avec "équivalent à 0".
La définition bête du quotient de limite 1 ne marche pas car tu ne peux pas calculer le quotient.
La définition correcte étant u\approx v\iff (u-v)=o(v) conduit à u négligeable devant 0. Or 0 est la seule fonction négligeable devant 0.
Donc on ne peut pas écrire u\approx0 quand u\neq0

Posté par
LeDino
re : Développement limités en pi/4 24-03-15 à 10:40

Oui effectivement.
C'est marrant parce que j'ai le souvenir d'avoir toujours écrit  h \sim 0  pour dire que h est au voisinage de 0.
Il y a d'ailleurs plein d'exercices sur le forum où j'ai utilisé cette écriture en introduction, juste pour poser le voisinage, sans me rendre compte que l'écriture pose problème en 0.

... et personne n'a jamais relevé cette faute : tu es le premier.
Je vais chercher d'où me vient cette mauvaise habitude...
Merci pour ton intervention.

Posté par
ricrac
re : Développement limités en pi/4 25-03-15 à 00:35

Précisons : les seules fonctions équivalentes à 0 sont les fonctions localement nulles.

Posté par
J-P Posteur d'énigmes
re : Développement limités en pi/4 25-03-15 à 08:57

Par Taylor.

f(x) = e^(cos(x))
f'(x) = -sin(x).e^(cos(x))
f''(x) = (-cos(x) + sin²(x)).e^(cos(x))
f'''(x) = (sin(x) + 3sin(x).cos(x) - sin³(x)).e^(cos(x))

f(Pi/4) = e^(1/V2)
f'(Pi/4) = -(1/V2).e^(1/V2)
f''(x) = (-1/V2 + 1/2).e^(1/V2)
f'''(x) = (1/V2 + 3/2 - 1/(2V2)).e^(1/V2)

DL de f en Pi/4 : e^(1/V2) - (x - Pi/4).(1/V2).e^(1/V2) + (x - Pi/4)².(-1/V2 + 1/2)/2 .e^(1/V2) + (x - Pi/4)³.(1/V2 + 3/2 - 1/(2V2))/6 .e^(1/V2) + o((x - Pi/4))^3

DL de f en Pi/4 : e^(1/V2) * [1 - (x - Pi/4).(1/V2) + (x - Pi/4)².(-1/V2 + 1/2)/2  + (x - Pi/4)³.(1/V2 + 3/2 - 1/(2V2))/6] + o((x - Pi/4))^3

Avec (x - Pi/4)² = x² - Pi/2 .x + Pi²/16
et (x - Pi/4)³ = x³ - 3Pi/4 .x² + 3.Pi²/16 .x - Pi³/64

...

-----
Sauf distraction.  

Posté par
LeDino
re : Développement limités en pi/4 26-03-15 à 13:39

Citation :
Précisons : les seules fonctions équivalentes à 0 sont les fonctions localement nulles.
Précision pour précision : lorsque j'écrivais  x ~ 0  je ne pensais pas  "x équivalent à 0"  mais  "x est au voisinage de 0".
Je ne sais pas d'où me vient cette sale habitude... mais je vois très bien que dire  "x équivalent à 0"  est idiot.
Je n'utiliserai plus cette notation inappropriée à l'avenir.

Pour le reste, la réponse que j'ai donnée reste valable, en particulier grâce à   o(u3) ~ o(h3)  avec h et u au voisinage de 0.
Le DL est un peu long à calculer, mais c'est peut-être le but de l'exercice de s'entraîner à ce genre de calcul... on en a tous vu des pires ...

Posté par
LeDino
re : Développement limités en pi/4 26-03-15 à 13:41

Il serait d'ailleurs intéressant de comparer avec l'approche de J-P qui montre que parfois, Taylor directement appliquée au point considéré peut s'avérer plus efficace que le changement de variable qui nous ramène aux DL en 0 mieux connus.



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