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développements limités

Posté par pepsister (invité) 04-03-05 à 11:29

bonjour,

voici quelques développements limités que je n'arrive pas à faire. J'ai les solutions et on me donne l'ordre à faire mais je dois mal m'y prendre car je ne trouve pas le bon résultat. Merci de me répondre.

exp(cos x) ordre 6
rep:exp(1-(x^2/2)+(x^4/6)-(31x^6/720))+O(x^6)

(1+x)^(1/x) ordre 3
rep:exp(1-(x/2)+(11/24)x^2-(7/16)x^3)+o(x^3)

(1+sinx)^(1/x) ordre 3
rep:exp(1-(x/2)+(7/24)x^2-(1/16)x^3)+o(x^3)

(exp(x)-x-1)^(1/2) ordre 4
rep:+ou-1/V2(x+(x^2/6)+(x^3/36)+(x^4/270))+o(x^4)

arctg(1+ax+bx^2) ordre 3
rep:II/4+a/2+((2b-a^2)/4)x^2+((a^3-6ab)/12)x^3+o(x^3)

arcsin(exp(-x^2)) ordre 5
rep:II/2+ou-V2(x-(x^3/6)+(x^5/120))+o(x^5)


arctg(((1-x)/(1+x))tg(alpha)) ordre 4
rep:alpha-xsin2alpha+(x^2/2)sin4alpha-(x^3/3)sin6alpha+(x^4/4)sin8alpha+o(x^4)

(arcsin(x^1/2))/(x(1-x))^1/2 ordre 2
rep:1+(2/3)x+(8/15)x^2+o(x^2)

(1/sin^2(x))-(1/sh^2(x)) ordre 4
rep: (2/3)+(26/945)x^4+o(x^4)

(1/x^2)-(1/(arcsinx)^2) ordre 4
rep: (1/3)+(1/15)x^2+(31/945)x^4+o(x^4)

Trouver un développement limité d'ordre 2 au voisinnage de l'infini de
y=^3V(x^3+x^2)-^3V(x^3-x^2)

merci d'avance

Posté par
franzre : développements limités 04-03-05 à 23:58

exp(cos x)  ordre 6

\array{ccl$\exp(\cos x) & = & \exp(1 + \cos(x)-1) \\ & = & e\,\exp(\cos(x)-1) \\ & = & e\,\exp(-\frac {x^2}2+\frac {x^4}{24}-\frac {x^6}{720}+o(x^6)) \\ & = & e\,\[1+\(-\frac {x^2}2+\frac {x^4}{24}-\frac {x^6}{720}\)+{\large \frac 1 {2!}}\(-\frac {x^2}2+\frac {x^4}{24}\)^2)+{\large \frac 1 {3!}}\(-\frac {x^2}2\)^3\]+o(x^6) \\ & = & e\,\[1 -\frac {x^2}2 + \(\frac 1 {24} + \frac 1 8\)x^4 + \(-\frac 1 {720} -\frac 1 {48} - \frac 1 {48}\)x^6 \]+ o(x^6) \\ & = & e\,\[1 -\frac {x^2}2 + \frac {x^4} {6} -\frac {31} {720}x^6 \]+ o(x^6)

Posté par
franzre : développements limités 05-03-05 à 00:15

(1+x)^(1/x) ordre 3 en 0

\array{ccl$(1+x)^{(\frac 1 x)} & = & \exp\(\frac {\ln(1+x)} x\) \\ & = & \exp\(\frac {x-\frac {x^2} 2 + \frac {x^3}3 - \frac {x^4} 4 + o(x^4)} x\) \\ & = & \exp\( 1-\frac {x} 2 + \frac {x^2}3 - \frac {x^3} 4 + o(x^3) \)\\ & = & \exp( 1) \, \times \, \exp\(-\frac {x} 2 + \frac {x^2}3 - \frac {x^3} 4 + o(x^3) \) \\ & = & e\, \[ 1 +\(-\frac {x} 2 + \frac {x^2}3 - \frac {x^3} 4 \) + {\large \frac 1 2} \(-\frac {x} 2 + \frac {x^2}3 \)^2 + {\large \frac 1 6} \(-\frac {x} 2 \)^3 \]+ o(x^3) \\ & = & e\, \[ 1 -\frac {x} 2 +\( \frac {1}3 + \frac 1 8 \)x^2 + \(-\frac 1 4 - \frac 1 6 - \frac 1{48}\)x^3 \]+ o(x^3) \\ & = & e\, \[ 1 -\frac {x} 2 +\frac {11}{24}x^2 - \frac {21} {48} x^3 \]+ o(x^3)

Posté par
franzre : développements limités 05-03-05 à 00:44

f(x)=arctg(1+ax+bx^2) ordre 3 en 0

Attention, on ne peut pas utiliser le DL d'Arctan car on n'est pas en 0.
Le plus simple est de dériver f d'efectuer le DL de f' à l'ordre 2 et d'intégrer (on obtient alors l'ordre 3).

\array{ccl$f^'(x) & = & \frac {a+2b x}{1+\(1+a x+b x^2\)^2} \\ & = & \frac {a+2b x}{1+1+2ax +(2b+a^2) x^2 + o(x^2)} \\ & = & \frac 1 2 \; \frac {a+2b x}{1+ax +(b+\frac {a^2}2) x^2 + o(x^2)} \\ & = & \frac 1 2 \; (a+2b x)(1 - \(ax +(b+\frac {a^2}2) x^2\) + a^2 x^2 +o(x^2)) \\ & = & \frac 1 2 \;(a+2b x)(1 - ax +(\frac {a^2}2-b) x^2 +o(x^2)) \\ & = & \frac 1 2 \;(a + (2b-a^2) x +(-3ab+\frac {a^2}2) x^2+o(x^2)) \\ & = & \frac a 2 + (b-\frac {a^2}2) x +(-\frac 3 2 a b+\frac {a^2}4) x^2+o(x^2)

f(x) = K + \frac a 2 x + \frac 1 2 (b-\frac {a^2}2) x^2 + \frac 1 3(-\frac 3 2 a b+\frac {a^2}4) x^3+o(x^3)

la constante d'intégration K=f(0)={\rm Arctan}(1)=\frac \pi 4

\large f(x) = \frac \pi 4 + \frac a 2 x + (\frac b 2-\frac {a^2}4) x^2 + (-\frac {ab} 2 +\frac {a^2}{12}) x^3+o(x^3)

Posté par
franzre : développements limités 05-03-05 à 01:58

g(x)=arctg(((1-x)/(1+x))tg(alpha)) ordre 4 en 0

Même technique que précédemment


soit h(x)=\frac {1-x}{1+x}=\frac {2-1-x}{1+x} =\frac 2{1+x} -1

h^'(x)=-\frac 2 {(1+x)^2}

\array{ccl$g^'(x) & = & {\large \frac {-\frac {2 \tan \alpha } {(1+x)^2}}{1+ \(\frac {1-x}{1+x} \tan \alpha \)^2} } \\ & = & \large - \frac {2 \tan \alpha} {(1+x)^2+(1-x)^2 \tan^2\alpha } \\ & = & \large - \frac {2 \tan \alpha} {(1+\tan^2\alpha) (1+x^2)+2x (1-\tan^2\alpha)} \\ & = & \Large - \frac {2 \frac {\sin \alpha}{\cos \alpha}} {\frac 1 {\cos^2 \alpha} (1+x^2)+2x {\frac {\cos^2 \alpha-\sin^2\alpha}{\cos^2 \alpha}}} \\ & = & \large - \frac {2 \sin \alpha \cos \alpha} { (1+x^2)+2x {\cos(2 \alpha) } } \\ & = & \Large - \frac {\sin (2\alpha) } { 1+2x \cos(2 \alpha)+x^2 } \\ & = & -\sin(2\alpha) \[ 1 - \(2x \cos(2\alpha) + x^2\) + \(2x \cos(2\alpha) + x^2\)^2 -\(2x \cos(2\alpha)\)^3 +o(x^3)\] \\ & = & -\sin(2\alpha) \[ 1 - 2 \cos(2\alpha) x + \(-1+4\cos^2(2\alpha) \)x^2 + \(4 \cos(2\alpha)-8\cos^3(2\alpha)\)x^3 +o(x^3)\]}

Or
\bullet -\sin(2\alpha)(-1+4\cos^2(2\alpha)) = -\sin(2\alpha)[-1+2(\cos(4\alpha)+1)] \\ \;\; = -\sin(2\alpha)[2\cos(4\alpha)-1] \\ \;\; = -\sin(2\alpha)-2\sin(2\alpha)\cos(4\alpha) \\ \;\; = -\sin(2\alpha)-\[ \sin((2+4)\alpha) + \sin((2-4)\alpha)\] \\ \;\; = -\sin(6\alpha)

\bullet -\sin(2\alpha)\(4 \cos(2\alpha)-8\cos^3(2\alpha)\) = -4\sin(2\alpha)\cos(2\alpha)[1-2\cos^2(2\alpha)] \\ \;\; = -2\sin(4\alpha)[-\cos(4\alpha)] \\ \;\; = \sin(8\alpha)

donc
g^'(x)=-\sin(2\alpha)+\sin(4\alpha)x-\sin(6\alpha)x^2+\sin(8\alpha)x^3

La constante d'intégration valant g(0)={\rm Arctan}(\tan\alpha)=\alpha            (pourvu que \alpha \in \left] -\frac \pi 2 ,\frac \pi 2 \right[ )


                 \red \Large \fbox{ {\rm Arctan}\left[\tan\alpha \left( \frac {1-x}{1+x}\right)\right] = \alpha -\sin(2\alpha)x+\frac {\sin(4\alpha)}2 x^2-\frac {\sin(6\alpha)}3 x^3+\frac {\sin(8\alpha)}4 x^4}



rep:alpha-xsin2alpha+(x^2/2)sin4alpha-(x^3/3)sin6alpha+(x^4/4)sin8alpha+o(x^4)

Posté par
franzre : développements limités 05-03-05 à 01:59

J'arrête là pour ce soir. Bonne nuit !

Posté par
franzre : développements limités 05-03-05 à 11:18

La nuit paortant conseil, il y a plus élégant pour le calcul de  g^'.

On repart de
\array{ccl$g^'(x) & = & \Large - \frac {\sin (2\alpha) } { 1+2x \cos(2 \alpha)+x^2 } \\ & = & \Large \frac {\sin (2\alpha)} { \(x+e^{2i\alpha}\)\(x+e^{-2i\alpha}\) } \\ & = & \Large \frac {\sin (2\alpha)} {-e^{2i\alpha}+e^{-2i\alpha}} \,\frac 1 {x+e^{2i\alpha}} \,+\, \frac {\sin (2\alpha)} {e^{2i\alpha}-e^{-2i\alpha}}\, \frac 1 {x+e^{-2i\alpha}} \\ & = & \Large \frac {-1} {2i} \,\frac 1 {x+e^{2i\alpha}} \,+\, \frac {1} {2i}\, \frac 1 {x+e^{-2i\alpha}} \\ & = & \Large \frac {1} {2i} \,\left(-\frac {e^{-2i\alpha}} {1+xe^{-2i\alpha}} \,+\, \frac {e^{2i\alpha}} {1+xe^{2i\alpha}} \right) }

Tu effectues le DL de
\large \frac {e^{2i\alpha}} {1+xe^{2i\alpha}} = {e^{2i\alpha}} \Bigsum_{k=0}^n (-1)^k\(xe^{2i\alpha}\)^k + o(x^n)= \Bigsum_{k=0}^n (-1)^k e^{2i (k+1)\alpha} x^k+ o(x^n)

Tu lui ôtes le DL de
\large \frac{e^{2i\alpha}} {1+xe^{-2i\alpha}} = {e^{-2i\alpha}} \Bigsum_{k=0}^n (-1)^k\(xe^{-2i\alpha}\)^k + o(x^n)= \Bigsum_{k=0}^n (-1)^k e^{-2i (k+1)\alpha} x^k+ o(x^n)

Après division par 2i il sort

\Large g^'(x)=\Bigsum_{k=0}^n (-1)^k\sin\(2(k+1)\alpha\) x^k+ o(x^n)

Posté par pepsister (invité)développements limités 06-03-05 à 21:50

Merci franz pour toutes les solutions que tu m'as donné.Je pense que ca va m'aider à faire certaines car la plupart se ressemble.

Posté par
franzre : développements limités 06-03-05 à 23:50

avec plaisir.


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