Bonsoir à tous .
Voila avant mon contrôle, je m'entraine à faire des développements limités. J'ai trouvé dans un bouquin un exercice ou on doit dire si les affirmations sont vraies et fausses mais il n'y a pas la correction. Je vous ici les résultats que j'ai obtenu:

1)Le DL d'ordre 4 de sin(x) en /4 est :
sin(/4+h)=+h-h²-h³+h⁴+h⁴(h).
J'ai trouvé que cette affirmation était vraie. Pour le montrer j'ai calculé le DL en /4 de sin(x) en repassant par la formule de Taylor-Young. J'ai donc obtenu des termes en (x-) que j'ai remplacé par h. Je retrouve la formule de l'énoncé de cette facon. Je ne suis pas très à l'aise avec les changements de variables.

2)La fonction f définie par f(x)=x³sin() si x0 et f(0)=0 admet comme DL d'ordre 2 en 0, f(x)=x²(x). Elle est donc de classe C² sur un voisinage de 0 et sa dérivée seconde vaut 0 en 0.
J'ai dis que cette affirmation était fausse car le fait que la fonction est de classe C² ne doit pas être une conclusion, car pour pouvoir calculé le DL de cette fonction par la FTY, si f est de classe C^n-1 sur I et si f est n fois dérivable en 0, alors on a la formule de Taylor-Young, et non l'inverse.

3)D'une manière générale, pour calculer le DL d'ordre 3 en 0 d'une fonction du type f(x).g(x), il suffit de connaitre les DLs d'ordre 3 en 0 de f et g.
Ici j'ai mis que c'était faux car si on a par exemple la fonction f(x)=xln(), on va avoir un DL final avec des termes en 1/x, 1/x², donc le fait d'avoir deux ordres 3 ne suffit pas.

4)Pour calculer le DL d'ordre 17 en 0 de (sin(x))².(cos(x)-1), il suffit d'utiliser le DL d'ordre 13 du sinus en 0 et le DL d'ordre 15 du cosinus.
J'ai trouvé que c'était vrai car le DL du sinus car faire apparaitre des puissances impaires tandis que celui du cosinus va faire apparaitre des puissance paires. En faisant le produit des deux, on aura un DL à l'ordre 17 sans problème car le DL du cosinus va se terminer en x¹⁴ et celui du sinus en x¹³.

5)Si le DL d'ordre 4 de f au voisinage de 3 est f(3+h)=1+2h-h⁴+h⁴(h), alors la tangente à f en 3 a pour équation y=1+2(x-3) et, au voisinage de 3 le graphe de f est au dessous de sa tangente.
Affirmation vraie à mon sens. On a du faire un changement de variable du type h=x-3, soit x=h+3. Donc en remplacant dans les premiers termes du DL, l'équation de la tangente est donnée par y=1+2h soit y=1+2(x-3). Le second terme nous donne la position de la courbe par rapport à la tangente. On a -h⁴<0, donc le graphe de f est en dessous de la tangente.

Voila j'espère que je ne vous embete pas trop avec mes problèmes.
Bonne soirée à tous et merci d'avance .