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développements limités exponentiels
bonjour à tous !
J'ai fait un exercice mais je ne suis pas sur que ce soit bon, j'aimerais donc votre avis.
Je dois trouver la limite en fonction de n lorsque x tend vers 0 de :
(e^x+e^(-x) - 2 - x²)/(x^n)
pour e^(-x) j'ai utilisé la formule du DL de e^x mais en remplaçant x par -x. Grace a ca, tout se simplifie grace a -2 et -x² mais je ne sais pas si j'ai le droit de faire ca.
En plus, dans ce cas, la valeur de x^n ne change rien car il y a 0 au numérateur.
Merci d'avance.
Bonsoir.
Tu connais le développement limité en 0 de la fonction exponentielle. Utlise le ici jusqu'à l'ordre 4.
A plus RR.
je l'ai utilisé ici mais à l'ordre 3 et tout se simplifies alors comment savoir qu'il faut le faire à l'ordre 4 et pourquoi? vous ne me dites pas si j'ai le droit d'utiliser la formule pr exp(-x) ?
Parce que tout se simplifie à l'ordre 3 !
Tu sais, avec les développements limités, on peut difficilement prévoir à l'avance. D'ailleurs, je conseillais à mes élèves de toujours prévoir une marge de sécurité.
A plus RR.
mais si tout se simplifit a l'ordre 3 alors on a 0 au numérateur et la limite est 0 donc pourquoi aller a l'ordre 4 ?
Comment veux-tu conclure si tu t'arrêtes avant de trouver le premier équivalent ?
Tu sais bien que lorsque tout disparaît, ce n'est pas bon signe. Alors, reprends ton exercice et développe jusqu'à l'ordre 6.
à l'ordre 4 il me reste (1/12)x^4 / x^n
lorsque x tend vers 0 le numérateur tend vers 0
pour le dénominateur, si n=0, alors il tend vers 1
si n>1 il tend vers 0 aussi non ? on a une forme indéterminée ici ...
pour n=4, la limite est 1/12
pour n>4 et n<4 je ne vois pas quel autre limite a part 0 pour les 2 cas, car pour n>4, il va resté (1/12)/x^(n-p) et pour n<4, il restera 1/2x^p et lorsque x tend vers 0, alors ceci tend vers 0 non ?
Et on n'a pas le droit d'appliquer les équivalents à exp(x) et exp(-x) en O?
Du coup il te reste -1/x^(n-2) et tu distingues les cas non?
Enfin c'est vrai que ça a l'air un peu simple comme ca!
pour n=2 : il reste 1/2 x² non ?
pour n=6 : il reste 0.5/x² non ?
donc quand x tend vers 0, le numérateur ou le dénominateur va tendre vers 0 donc je ne vois pas en quoi cela diffère
Euh, il y a peut etre une incomprehension dans l'écriture là je pense!
pour n=2 , ta limite c'est -1 puisque x(2-2) =1
pour n=6 , il te reste du -1/(x^4) donc ta limite c'est moins l'infini!
D'ailleurs pourquoi cela est-il un problème que le numérateur ou le dénominateur tendent vers 0? Du moment que ce n'est pas en même temps il n'y a pas de problème si?
Comme tu l'as vu le cas n = 4 est élémentaire.
Si n < 4, tu auras quelque chose du type x4-n avec 4 - n > 0, donc limite 0
Si n > 4, tu auras quelque chose du type avec n - 4 > 0, donc limite infinie.
Et donc la réponse était? Je ne comprends pas très bien, la limite d'une somme est la somme des limites non? En appliquant cela je trouve une relation entre n et 2 mais avec les DL je trouve une relation entre n et 4! Mais quelle est la bonne réponse?
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