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Développements limités, ln(1+x)
Bonjour à tous,
Je me permets de faire appel à votre aide car je me casse les dents sur le début d'un exercice.
L'énoncé est le suivant :
f : ] -1 ; +
[
x 
ln(1+x)
1. Montrer que f est de classe C sur son intervalle de définition et que 
n
, f(n)(0)= (-1)(n-1)(n-1)!
2. En déduire le développement de Taylor-Lagrange de f à l'ordre n.
3. Montrer que la suite réelle (Un)n* définie par :
Un = 
(-1)k-1/k = 1 - 1/2 + 1/3 + ... + (-1)n-1 / n
converge vers ln(2).
Montrer que f est de classe C n'est pas vraiment compliqué.
Cependant, montrer la relation me pose plus de problèmes. J'imagine qu'il faut raisonner par récurrence, mais je ne vois pas comment retomber sur mes pattes car f(n+1)(0) = (f(n)(0))' mais f(n)(0) est une constante selon l'énoncé donc la dérivée est nulle. Et j'imagine que je ne dois pas utiliser d'autres formules que celle donnée dans l'énoncé comme celles de Taylor etc.
Pour la question 2, le développement de Taylor-Lagrance de ln(1+x) est plutôt bien connu donc je devrais m'en sortir..
La question 3 m'effraie déjà plus, dois-je raisonner à nouveau par récurrence ? Je ne vois pas ce que vient faire le ln(2) en limite de cette suite..
Merci d'éclairer ma lanterne,
Snebgloo 
.
Euh oui effectivement Galilée, j'ai confondu.
Camélia, je vois où tu veux en venir mais je galère pour trouver une expression de la dérivée de (1+x)n. Je sais que (1+x)n= n!/k!(n-k)! ak mais ça m'embrouille plus qu'autre chose.. Et je pense avoir besoin de dériver cette expression pour montrer la récurrence. Non ?
f(x)= ln(1+x)
f'(x)= (1+x)-1
f''(x)= -(1+x)-2
f'''(x)=2.(1+x)-3
etc....
par récurrence tu peux alors montrer fn(x)= (-1)n-1(n-1)!/(1+x)n
Sauf erreur
Oui, mais en utilisant des puissances négatives ou le quotient, je ne vois pas comment lier mon hypothèse de récurrence à mon calcul.
J'obtiens donc f(n+1)(x) = - ( n(-1)(n-1) ) / (1+x)(n+1) ou alors (-1)n-1.n(1+x)-(n+1).
Je me rends bien compte que le (-1)n-1 est peu important mais je ne vois donc pas comment continuer mon raisonnement, en ayant supposé que f(n)(x) = (-1)(n-1) ) / (1+x)(n). 
J'ai vraiment du mal à comprendre par quel bout prendre les raisonnements par récurrence décidément..
Je n'avais pas pensé à cette simplification qui aide bien effectivement..
J'arrive donc à f(n+1)(x) = n* (-1)n/(1+x)(n+1) ce qui peut clore la récurrence, n'est-ce pas ?
Et comme c'est vrai pour x, c'est vrai pour 0.
Merci à vous deux !
J'ai réussi à traiter la question 2 sans trop de soucis pour obtenir f(x) = x - (1/2)x² + (1/3)x3 .. + (-1)n+1xn / n , ce qui me semble juste.
Pour la question 3, je remarque que les termes de la suite proposée ressemblent aux coefficients de mon développement de Taylor-Lagrange.
Existe-t-il une formule générale pour montrer que 1 - (1/2) + (1/3) + (-1)n-1/n converge vers ln(2) au même titre que celle montrant que 1+2+3+..+n = n(n+1) / 2 ?
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