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Développent en séries entières

Posté par
Killian2233 27-04-23 à 13:45

Bonjour !
J'aimerai avoir une correction pour un exercice que je pense faux mais je n'ai malheureusement aucune correction à disposition :

Soit f(x) = 3x - 5/(x-1)(x-2)


Après développement en séries entières je trouve f(x) = xn+1 (2+1/2n+1)

Pourriez vous me corriger ?
Cordialement.

Posté par
Killian2233re : Développent en séries entières 27-04-23 à 13:47

J'ai oublié également, comment déterminer le rayon de convergence ?

Posté par
carpediemre : Développent en séries entières 27-04-23 à 14:14

salut

donc   f(x) = 3x -5 \left( \dfrac1 {x - 2} - \dfrac 1 {x - 1} \right) = 3x - 5 \left( \dfrac 1 {1 - x} - \dfrac 1 2 \dfrac 1 {1 - \dfrac x 2 } \right) = 3x - 5 \left( \sum (-x)^k - \dfrac 1 2 \sum \left( \dfrac x 2 \right)^k \right)

je n'ai pas l'impression de trouver comme toi ...

Posté par
Killian2233re : Développent en séries entières 27-04-23 à 14:27

J'ai inclus le numérateur quand j'ai décomposé le polynôme ... je ne comprend pas pourquoi il faut laisser 3x-5 en facteur ?  

Posté par
lakere : Développent en séries entières 27-04-23 à 14:41

Bonjour,
Il me semble que :

- Killian2233 a oublié des parenthèses.

- \dfrac{3x-5}{(x-1)(x-2)}=\dfrac{2}{x-1}+\dfrac{1}{x-1} qui donne bien son résultat.
Ceci dit, je ne fais que passer.

Posté par
carpediemre : Développent en séries entières 27-04-23 à 14:59

Killian2233  :

Killian2233 @ 27-04-2023 à 13:45

f(x) = 3x - 5/(x-1)(x-2)
  

n'est pas
lake @ 27-04-2023 à 14:41

f(x) = \dfrac{3x-5}{(x-1)(x-2)}


lake : je m'en doutais .... mais bon tel que c'est écrit (sans les parenthèses) c'est faux ...



PS :   ton résultat est aussi faux ... un petit 2 s'est transformé en1  

Posté par
Killian2233re : Développent en séries entières 27-04-23 à 15:29

Oui pardon en effet, c'est le premier poste que je fais et j'ai un peu de mal avec l'écriture numérique quand il s'agit de calcul. Merci en tous cas !  

Posté par
Killian2233re : Développent en séries entières 27-04-23 à 15:32

En revanche une dernière question, comment puis-je en déterminer le rayon de convergence ?

Posté par
lakere : Développent en séries entières 27-04-23 à 16:23

Il me semble qu'il y a "seulement" une erreur de signe :

  f(x)= {\red -}\sum_{n\geq 0}\left(2+\dfrac{1}{2^{n+1}}\right)x^n

Posté par
lakere : Développent en séries entières 27-04-23 à 16:26

Mince ! Envoyé intempestivement.
f(x)=-\sum_{n\geq 0}u_nx^n

Pour le rayon de convergence, tu peux calculer \dfrac{u_{n+1}}{u_n} et sa limite.

Posté par
carpediemre : Développent en séries entières 27-04-23 à 18:22

ou plus simplement avec f(x) = \dfrac {3x - 5} {(x - 1)(x - 2)} = \dfrac 2 {x - 1} + \dfrac 1 {x - 2} = \dfrac 2 {x - 1} + \dfrac 1 2 \dfrac 1 {\dfrac x 2 - 1}}

le rayon de convergence du premier quotient est ...
le rayon de convergence du deuxième quotient est ...

conclusion ?


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