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Devoir maison sur les fonctions
Bonsoir a tous,
J'ai un devoir maison à faire, cela fait quelques jours que je travaille dessus mais je bloque a certains endroits ou je ne comprend pas certaines choses.
Alors voila le devoir maison :
On considère f(x)= (x²+2x+3)/ ( x²-2x-3).
1.a) Déterminer Df l'ensemble de définition de f.
J'ai pas eu de problème pour cette partie j'ai calculé Delta et j'ai obtenu Df-{-1;3}
b) Calculer les limites de f aux bornes de Df.
J'ai obtenu limites de f(x) en + infini et - infini est égale à 1.
2. Étudier le sens de variation de f ; dresser le tableau de variation de f.
Alors je ne suis pas trop sur de ce que j'ai fais, j'ai calculé la dérivé de f(x) et j'obtiens - 16x / ( x²-2x-3)², ensuite je calcule les signes de la dérivé, elle est décroissante de - infini à -1 et décroissante de -1 à plus infini. Ensuite je calcule les limites de f(x) quand x tend vers -1 et 3, pour -1 j'ai -1 et pour 3 j'ai 18/0 mais c'est impossible je sais pas comment faire .
3.Étudier, sans utiliser les variations de f, la position Cf par rapport à son asymptote parallèle à l'axe des abscisses.
Je comprends pas ce qu'il faut faire , j'ai dû mal avec les asymptotes.
4. Comment prendre le réel positif x pour que 0
f(x)-1< 0.1.
Alors la je calcule, j'obtiens 0(4x+6)/(x²-2x-3) < 0.1 et après j'essaie d'isoler x mais je peux pas parce que j'obtiens 04x+6< 0.1x²-0.2x-0.3.
Voilà, j'espère que vous pourrez m'aider a comprendre certaines choses et à me les expliquer . Je vous remercie d'avance;
Bonjour,
1) a) Bon
b) Bon pour l'infini mais il fait étudier les limites en -1 et 3 aussi.
Quand x tend vers -1 le numé tend vers (-1)²+2(-1)+3=2 qui est positif.
Le déno est négatif à l'intérieur des racines .
Donc :
lim f(x)=+
( car numé et déno de même signe)
x--> -1
x < -1
lim f(x)=- ( car numé et déno de signes contraires)
x-->-1
x > -1
lim f(x)=- ( car numé et déno de signes contraires)
x--> 3
x < 3
lim f(x)=+ ( car numé et déno de même signe)
x--> 3
x > 3
2)
Calcul de la dérivée :
u=x²+2x+3 donc u'=2x+2
v=x²-2x-3 donc v'=2x-2
f '(x)=[(2x+2)(x²-2x-3)-(2x-2)(x²+2x+3)]/(x²-2x-3)²
Moi, je trouve :
f '(x)=(-4x²-12x)/(x²-2x-3)²
soit :
f '(x)=-4x(x+3)/(x²-2x-3)²
On a ainis les racines du numé.
Donc f' (x) est du singe de -4x²-12x qui est psoitif entre les racines qui sont :
x=0 et x=-3
Dans ton tableau de variation tu fais donc apparaître les valeurs :
x--->-inf.....-3........-1......0...........0.....+inf
Je reviens en début d'ap-midi.
J'ai un peu de temps maintenant. Et je corrige une faute de frappe :
Dans ton tableau de variation tu fais donc apparaître les valeurs :
x--->-inf.....-3........-1......0...........3.....+inf
Je reviens sur cette histoire de limite en -1 et 3. Tu as bien compris que pour ces valeurs le numé de f(x) est positif et que le déno tend vers 0 mais il faut savoir si le déno tend vers 0 par valeurs positives ou négatives. OK ?
Or ce déno est : x²-2x-3 et l'on sait que ax²+bx+c avec a > 0 est < 0 à l'intérieur des racines.
Donc x²-2x-3 > 0 pour x < - 1 et x²-2x-3 < 0 pour x > -1. OK ?
Et : x²-2x-3 < 0 pour x < 3 et x²-2x-3 > 0 pour x > 3. OK ?
Tableau de variation : Je te fais juste la lugne qui donne le signe de f '(x) et toi tu feras en plus la variation de f(x) avec les flèches qui montent ou descendent . OK ?
x------->-inf.....-3........-1......0...........3.....+inf
f '(x)-->......-...0....+....||..+..0....-......||..-....
f(x)---->
3.Étudier, sans utiliser les variations de f, la position Cf par rapport à son asymptote parallèle à l'axe des abscisses.
Tu as montré que :
"J'ai obtenu limites de f(x) en + infini et - infini est égale à 1."
Ceci suffit à prouver que la drote y=1 est asymptote à Cf en - et + infini.
Pour étudier la positiion de Cf par raaport à la droite y=1 , on étudie le signe de : f(x)-1.
f(x)-1=(x²+2x+3)/ ( x²-2x-3)-1
Tu réduis au même déno et à la fin , tu trouves :
f(x)-1=2(2x+3)/(x²-2x-3)
Le numé est positif pour x > - 3/2
Le déno (on l'a vu) est négatif pour x ]-1;3[
Tu fais un tableau de signes :
x-------->-inf..........-3/2...........-1..........3..........+inf
2x+3----->........-.......0.....+.......|...+......|.....+......
x²-2x+3-->........+.......|.....+.......|....-.....|.....+......
f(x)-1--->.........-......0......+......||...-.....||...+.....
Donc :
f(x)-1 > 0 pour x]-3/2;-1[ U ]3;+inf[ et donc dans ces intervalles :
f(x)> 1 donc Cf au-dessus de l'asymptote.
Et :
f(x)-1 < 0 pour x]-inf;-3/2[ U ]-1;3[ et donc dans ces intervalles :
f(x) < 1 donc Cf au-dessous de l'asymptote.
Pour x=3/2 , Cf est coupée par son asymptote.
Je t'envoie la courbe pour vérification et je vois la 4) cet ap-midi.
Tu ne fais pas le graph car on ne le demande pas : je l'ai fait pour vérifier que le tableau de variation est bon et aussi que la position trouvée de Cf par rapport à l'asymptote est la bonne.
4) Ce calcul consiste à déterminer pour quelles valeurs de x , Cf est à moins de 0.1 cm ( soit 1 mm) de son asymptote et, en plus , au-dessus de l'asymptote.
Tu as raison , il faut résoudre :
0 (4x+6)/(x²-2x-3) < 0.1
On résout d'abord :
(4x+6)/(x²-2x-3)
0
Cela je l'ai fait dans le tableau de signes envoyé à 12 h 21 .
(4x+6)/(x²-2x-3) 0 pour x 
[-3/2;-1[ U ]3;+[ --->ligne 1
Ensuite on résout :
(4x+6)/(x²-2x-3) < 0.1
soit 4x+6 < 0.1(x²-2x-3)
soit en développant et en réduisant :
0.1x²-4.2x-6.3 > 0
Le trinôme ax²+bx+c avec a > 0 est positif à l'extérieur des racines.
Il faut trouver les racines de 0.1x²-4.2x-6.3.
On trouve :
x1 
-1.45
x2 43.45
Donc :
0.1x²-4.2x-6.3 > 0 pour x ]-;-1.45] U [43.45;+]--->ligne 2
-1.45 est compris car : 0.1*(-1.45)²-4.2*(-1.45)-6.3=0.00025 qui est > 0
Par contre : 0.1*(-1.44)²-4.2*(-1.44)-6.3=-0.04464 qui est < 0.
43.45 est compris car : 0.1*43.45²-4.2*43.45-6.3=0.00025 qui est > 0.
Par contre : 0.1*43.44²-4.2*43.44-6.3=-0.04464 qui est < 0.
Pour respecter à la fois la ligne 1 et la ligne 2 , il faut que :
x [-3/2;-1.45] U [43.45;+[
Bon courage !!( Et refais mes calculs pour me signaler mes erreurs éventuelles).
Zut ! Je n'avais pas lu que l'on voulait un réel positif dans la 4) !!
La réponse est donc :
0 f(x)-1 < 0.1 avec un x positif
pour x [43.45;+[
43.45 est une valeur approchée au 1/100e.
Ouah, je te remercie beaucoup, je ne m'attendais pas à une telle réponse si certaines parties de ton explication me sont un peu incompréhensible, je te le dirai mais merci beaucoup ^^
Alors je ne comprends les limites de -1 et 3 parce que kan je calcule j'obtiens 2 au num et 0 au dénominateur mais pk tu obtiens - infini , je comprends pas 
Par rapport a l'étude de la position de Cf par rapport à y=1 ( je ne sais pas d'où viens cette courbe), je comprend pas comment tu trouve le signe de numérateur et du dénominateur .
Alors je ne comprends les limites de -1 et 3 parce que kan je calcule j'obtiens 2 au num et 0 au dénominateur mais pk tu obtiens - infini , je comprends pas
Quand tu divise un nb constant comme 2 par un nb très , très proche de zéro , tu obtiens un très , très grand nb.
Ex : 2/0.000001=2 000 000
C'est pourquoi l'on dit que :
lim f(x)=- ou + infini quand x tend vers -1 ou 3.
OK ou pas ?
La suite après.
Par rapport a l'étude de la position de Cf par rapport à y=1 ( je ne sais pas d'où viens cette courbe), je comprend pas comment tu trouve le signe de numérateur et du dénominateur .
Tu ne sais pas d'où vient la droite y=1 ? Elle est en rouge sur mon graph. C'est vers cette droite que tend Cf au voisinage de +infini. c'est l'asymptote en +inf !! Il faut comprendre ça : passes-y ton dimanche s'il le faut.
f(x)-1 : c'est la distance verticale qui sépare un point d'abscisse "x" de Cf du point de même abscisse de la droite rouge y=1.
Si cette distance est positive , c'est que le point de Cf est au-dessus de la droite.
Si cette distance est négative , c'est que le point de Cf est au-dessous de la droite.
je comprend pas comment tu trouve le signe de numérateur et du dénominateur
Tu refais mon travail d'hier à 12 h 21 au brouillon et essaie de comprendre. Je ne peux rien faire de plus par Internet !!
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