Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Niveau Prepa intégrée
Partager :

Diagonabilité

Posté par
martizic
26-10-23 à 14:56

Bonjour à tous!

J'ai un exercice que je ne comprends pas trop en réduction d'endomorphismes... est-ce que qqln pourrait m'aider svp?

Voici l'énoncé :

Soit E un R-ev, f endomorphisme de E telle que f ≠ Id et ∃n ∈ N,(f−Id)^n = 0.
f est-elle diagonalisable?



Voici ce que j'ai fais :

On suppose par l'absurde que f est diagonalisable donc,
f = PDP^{-1} et Id = PIdP^{-1} 
 \\ \Leftrightarrow f - Id = PDP^{-1} - PIdP^{-1} 
 \\ \Leftrightarrow f - Id = P(D - I)P^{-1} 
 \\ 
 \\ Ainsi, 
 \\ (f - Id)^{n} = (P(D - I)P^{-1})^{n} = P(D - I)^{n}P^{-1}

Maintenant je bloques... dois-je essayer de résoudre (f - Id)^{n} = 0 ?

Merci de votre aide et bonne journée!

Posté par
Camélia Correcteur
re : Diagonabilité 26-10-23 à 15:00

Bonjour

Quelles sont les valeurs propres de f?

Posté par
martizic
re : Diagonabilité 26-10-23 à 15:01

Les valeurs propres de f sont les valeurs de la diagonale de D... à part cela, je ne sais pas trop

Posté par
Camélia Correcteur
re : Diagonabilité 26-10-23 à 15:10

Tu ne connais pas le polynôme caratéristique?
Sinon, la définition d'une valeur propre est la suivante :

\lambda est valeur propre de f si et seulement s'il existe x\neq 0 tel que f(x)=\lambda x.
L'espace propre associé à \lambda est Ker(f-\lambda\ Id)

Posté par
martizic
re : Diagonabilité 26-10-23 à 15:13

Ah ok, je connais ces définitions et les utilise pour diagonaliser des vraies matrices.

Néanmoins, lorsque nous sommes plus dans la théorie, comme dans cet exercice, je bloques totalement et ne sais jamais quoi faire...

Auriez vous un indice de comment avancer dans la résolution de mon exercice svp?

Posté par
Camélia Correcteur
re : Diagonabilité 26-10-23 à 15:24

Tu sais que (f-Id)^n=0. Quelles peuvent bien être les éléments de D?

(J'ai repris tes notations, pas idéales.)

Posté par
martizic
re : Diagonabilité 26-10-23 à 15:30

Il faudrait que les éléments diagonaux de D soient tous des "1" je pense. Est-ce correct?

Posté par
Camélia Correcteur
re : Diagonabilité 26-10-23 à 15:57

Oui, c'est correct, même si je ne vois pas trop comment tu le sais.

Et alors, que vaut PDP^{-1} ?

Posté par
martizic
re : Diagonabilité 26-10-23 à 16:05

PDP-1 vaut donc D et donc vaut Id

Et donc, f n'est pas diagonalisable est-ce bien cela?

Posté par
Camélia Correcteur
re : Diagonabilité 26-10-23 à 16:33

Oui, c'est ça. L'hypothèse étant que f\neq Id.

C'est bien, mais il faut que tu trouves une justification pour les 1 sur la diagonale.

Posté par
martizic
re : Diagonabilité 26-10-23 à 16:38

Je me suis dis que Id = \begin{pmatrix} 1 &0 &0 &0 \\ 0&1 &0 &0 \\ 0& 0 &1 &0 \\ 0& 0 & 0 &1 \end{pmatrix}
Donc, pour que f - Id = 0,
alors f doit être aussi \begin{pmatrix} 1 &0 &0 &0 \\ 0&1 &0 &0 \\ 0& 0 &1 &0 \\ 0& 0 & 0 &1 \end{pmatrix}

Or, f  ≠  Id donc pas diagonalisable.

Néanmoins, je ne sais pas comment bien justifier et écrire cet exercice...

Auriez-vous des conseils de comment commencer la rédaction?



PS : j'ai mis des matrices 4x4 comme exemple mais je sais qu'on parle de matrices nxn

Posté par
martizic
re : Diagonabilité 26-10-23 à 17:55

L'hypothèse indique que f est un endomorphisme de E non égal à l'identité Id, avec (f−Id)ⁿ = 0 pour un certain n ∈ N. On suppose par l'absurde que f est diagonalisable.

Dans ce cas, on peut dire que la matrice de f en base de vecteurs propres est une matrice diagonale. Les coefficients diagonaux de celle-ci sont les valeurs propres de f.

Par ailleurs, on sait que (f-Id)ⁿ=0. Comme l'application (f-Id) conserve les vecteurs propres de f, alors (f-Id)ⁿ doit aussi les conserver. Par conséquent, les valeurs propres de f sont toutes égales à 1.

Ceci est en contradiction avec notre hypothèse que f ≠ Id. En effet, si toutes les valeurs propres de f étaient égales à 1, alors f serait équivalent à l'identité, ce qui contredit le fait que f ≠ Id.

Par conséquent, l'absurde est atteint et f ne peut pas être diagonalisable.



Est-ce que ce raisonnement est suffisant svp?

Posté par
Camélia Correcteur
re : Diagonabilité 27-10-23 à 15:19

C'est presque ça.
Tu sais que Ker(f-Id)^n=E, donc la seule valeur propre possible est 1.

Dire que f-Id conserve les valeurs propres de f n'a pas de sens.

Conseil: apprends ton cours sur les valeurs propres, polynôme caractéristique... si on a introduit ces notions c'est parce qu'elles sont indispensables.



Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :


Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1673 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !