Bonjour

Quelles sont les valeurs propres de f?

Les valeurs propres de f sont les valeurs de la diagonale de D... à part cela, je ne sais pas trop

Tu ne connais pas le polynôme caratéristique?
Sinon, la définition d'une valeur propre est la suivante :

est valeur propre de si et seulement s'il existe tel que .
L'espace propre associé à est

Ah ok, je connais ces définitions et les utilise pour diagonaliser des vraies matrices.

Néanmoins, lorsque nous sommes plus dans la théorie, comme dans cet exercice, je bloques totalement et ne sais jamais quoi faire...

Auriez vous un indice de comment avancer dans la résolution de mon exercice svp?

Tu sais que . Quelles peuvent bien être les éléments de D?

(J'ai repris tes notations, pas idéales.)

Il faudrait que les éléments diagonaux de D soient tous des "1" je pense. Est-ce correct?

Oui, c'est correct, même si je ne vois pas trop comment tu le sais.

Et alors, que vaut ?

PDP^-1 vaut donc D et donc vaut Id

Et donc, f n'est pas diagonalisable est-ce bien cela?

Oui, c'est ça. L'hypothèse étant que .

C'est bien, mais il faut que tu trouves une justification pour les 1 sur la diagonale.

Je me suis dis que Id =
Donc, pour que f - Id = 0,
alors f doit être aussi

Or, f  ≠  Id donc pas diagonalisable.

Néanmoins, je ne sais pas comment bien justifier et écrire cet exercice...

Auriez-vous des conseils de comment commencer la rédaction?



PS : j'ai mis des matrices 4x4 comme exemple mais je sais qu'on parle de matrices nxn

L'hypothèse indique que f est un endomorphisme de E non égal à l'identité Id, avec (f−Id)ⁿ = 0 pour un certain n ∈ N. On suppose par l'absurde que f est diagonalisable.

Dans ce cas, on peut dire que la matrice de f en base de vecteurs propres est une matrice diagonale. Les coefficients diagonaux de celle-ci sont les valeurs propres de f.

Par ailleurs, on sait que (f-Id)ⁿ=0. Comme l'application (f-Id) conserve les vecteurs propres de f, alors (f-Id)ⁿ doit aussi les conserver. Par conséquent, les valeurs propres de f sont toutes égales à 1.

Ceci est en contradiction avec notre hypothèse que f ≠ Id. En effet, si toutes les valeurs propres de f étaient égales à 1, alors f serait équivalent à l'identité, ce qui contredit le fait que f ≠ Id.

Par conséquent, l'absurde est atteint et f ne peut pas être diagonalisable.



Est-ce que ce raisonnement est suffisant svp?

C'est presque ça.
Tu sais que , donc la seule valeur propre possible est 1.

Dire que f-Id conserve les valeurs propres de f n'a pas de sens.

Conseil: apprends ton cours sur les valeurs propres, polynôme caractéristique... si on a introduit ces notions c'est parce qu'elles sont indispensables.