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diagonalisation
Discuter selon les valeurs de 
la diagonalisation de A.
On donne A=X.tY avec X= 1 et Y= 1
0 0
1
1/j'ai calculé PA(
)
2/ Sp(A)={0,(+1)} 0 vp double et vp simple.
3/Espaces propres associés:
- =+1 on a E+1=Vect{(1,0,1)} par exple.
pas de pb de dimension
-=0 on a Eo=Vect{(-,0,1)} par exple.
Or cette vp est de multiplicité 2. On a dc 1
dim Eo2.
Eo=ker(u-0I)=ker(u)
A= (1 0 )
(0 0 0)
(1 0 )
det(A)=PA(0)=0
calcul du rg(A): la colonne C2 étant nulle et C1 et C3 sont liées, on rg(A)=1
on applique th du rg et l'on a dim(Eo)=3-1=2=multiplicité de la vp 0.
à partir de là, je ne sais plus où je dois aller!!
Bonjour délice;
Comme tu l'as bien vu le polynome caractéristique de la matrice est:
1er cas:
est non diagonalisable car sinon elle serait semblable à la matrice nulle et donc elle-mm nulle ce qui n'est pas le cas.
2ème cas:
Si est la base canonique de
et f l'endomorphisme tel que
on voit que:
et donc que
étant une base de
(facile à vérifier) on voit que:
est donc diagonalisable dans ce cas.
Sauf erreur bien entendu 
en fait on a A=PDP-1 où D est diagonale et P matrice de passage.
D=MatrB'(f) ok
P= (1 0 )
(0 0 0)
( o )
en fait 1ère colonne=1er vecteur de l'espace propre
etc...
c'est ça en fait ton raisonnement?
Tu t'es trompé pour la matrice de passage car celle ci doit ^tre inversible et on l'obtient en rangeant par colonne les vecteurs de la base
exprimés dans la base
soit:
et
et
Sauf erreur
On a A une matrice de rg(A)=1 définie par A=X.tY où X et Y sont des vecteurs de Rn; on pose a le réel tX.Y
Mq A annule un polynôme de degré 2; en déduire les valeurs propres possibles.
A est-elle diagonalisable? Préciser les sous-espaces propres.
CCL: Démontrer que les matrices diagonalisables de rg 1 engendrent E
je bloque?!
comment démarrer?
calcul de PA()=det(A-I)=? non, on ne peut pas y arriver comme ça!
A2=X.tY.X.tY
Z2-AZ=0 pour Z=A mais ça me semble stupide!!
Ca dépasse mes compétences désolé.
"...il fait un temps abominable, heureuseument tu as ton im'perméable, ou la gadoue la gadoue la gadoue..."
Extrait d'une chanson "birkinoise".
Salut,
Un coup de pouce sur le début:
A = X.tY
A2 = (XtY).(XtY)
= X.(tY.X).tY
or tY.X = t(tX.Y) = t(a) = a (le réel!)
Donc A2 = a.XtY = a.A.
Je te redonne la main sur la suite...
A+
biondo
Ok, on a P(z)=z(z-a) polynôme annulateur de A.
P(A)=0.
PA()=det(A-I)
Comment relier le truc?
P(z)=z(z-a) n'est pas le polynôme minimal de A?
Cayley hamilton PA(A)=0
PA = Vect {(z(z-a))}
d'où Sp(A) c {0,a}
A est diagonalisable ssi det PA()
0
Moi j'aime bien refaire les choses (quand elles sont simples) plutot que d'invoquer des theoremes ultra-puissants...
Si s est une valeur propre de A, avec x un vecteru propre associe:
A(x) = s.x
A(A(x)) = s.(A(x)) = s.s.x
Or A(A(x)) = a.A(x) donc s.s = a.s
Soit s = 0, soit s = a.
Les valeurs propres possibles sont 0 et a.
Tu as des idees sur la suite?
biondo
si a=0 alors 0 est valeur propre de multiplicité 2.
A est diagonalisable ssi dim E0=2
E0= ker(u)
soit V appartient à E0
u(V)=0.
A est la matrice associée à l'endomorphisme u.
AV=0
Ea=ker(u-aI)
Meuh non.
Tu pedales un peu, c'est tout.
A est-elle diagonalisable?
Si a = 0, certainement pas. La seule valeur propre possible serait alors 0, et elle serait alors semblable a la matrice nulle, donc nulle. Or A est de rang 1, donc non nulle.
Si a different de 0.... alors X est un vecteur propre de A pour la valeur propre a (le meme X que dans A = XtY) !!! En effet: AX = (XtY).X = X.(tY.X) = X.a = aX.
Il faut preciser que X est non nul.
Et dans ce cas, on a dim E0 = n-1 (par theoreme du rang), et dim Ea = 1 (superieur ou egal a 1 en fait, mais comme E0 et Ea sont en somme directe, dim Ea ne peut valoir que 1 dans un espace de dimension n).La matrice sera donc diagonalisable.
Les sous-epsaces propres? on vient de le faire: le noyau, et la droite engendree par le vecteur X.
Il reste quelque chose?
A+
biondo
Ok je te remercie
je vais réfléchir + en détail sur les espaces propres:
il me faut étudier cela en fait:
E0=ker(u) et Ea=ker(u-aI) pour a<>0
et pour terminer, on nous demande de mq les matrices diagonalisables de rang 1 engendrent E!!
Bonjour;
Pour la dernière question CCL: Démontrer que les matrices diagonalisables de rg 1 engendrent E
bien entendu ici c'est
.
Notons la base canonique de
et
celle de
il est facile de vérifier que et par conséquent les
sont toutes de rang
mais le problème c'est que
n'est pas diagonalisable si
(vu que
).
On va remedier à ça en considérant la famille de matrices ,elles sont toutes de rang
puisque
,elles sont diagonalisables (facile à vérifier) et enfin elles engendrent bien
puisqu'elles constituent une famille libre de cardinal
.
Sauf erreurs bien entendu
Ea=ker(u-aI)
v appartient à Ea ssi (A-aI)v=0
Or il existe X tq AX=aX
pour tt V appartenant à Ea tq v=kX alors AV=aV
d'où Ea=Vect{(X)}
E0=ker(u)
={X tq AX=0}
pour la dernière question,
(Ei,j) n'annule pas un polynôme du 2nd degré. D'où Eij non diagonalisable.
on a (E'ij)2=Eii2/4
de là, comment déduit-on que c'est diagonalisable?
(Eij)base de Mn(R) dc tte combinaison linéaire de (Eij) est libre d'où (E'ij) famille libre.
dim(E'ij)=dim(Eii)/2 + dim(Eij)/2 = n2
ah mais non, pour voir si c'est diagonalisable, il suffit de calculer tX.Y!!
biondo dit:
Et dans ce cas, on a dim E0 = n-1 (par theoreme du rang), et dim Ea = 1 (superieur ou egal a 1 en fait, mais comme E0 et Ea sont en somme directe, dim Ea ne peut valoir que 1 dans un espace de dimension n).La matrice sera donc diagonalisable.
Pourquoi A sera diagonalisable ds ce cas?
On a en fait
Tu devrais avoir dasn ton cours un theoreme qui dit que lorsque c'est le cas (E somme directe des sous-espaces propres - attention, les sev sont toujours en somme directe, ce qui compte c'est que la somme fasse E...), la matrice est diagonalisable.
Si tu n'as pas ca dans ton cours, il suffit de prendre une base de E0 et une base de Ea, et de voir ce que donne la matrice de l'endomorphisme dans ce cas. Il est assez facile de voir qu'on a un seul coefficient non nul, qui vaut a, et qui se trouve sur la diagonale...
A+
biondo
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