Bonsoir,
L'énoncé de mon exo s'agit de diagonaliser la m atrice suivante dans Mn(C) :
M=
son polynome caracteristique est : P =
pour chercher les vecteurs propres associés à i ,la correction propose de calculer M-i qui sera égale à:
M-i=
En remarquant que dans cette dernière matrice, la dernière colonne vaut i fois la première ,ils ont déduit que :
M-i
=0
Ce que je n'ai pas compris .
Merci d'avance pour toute aide!
Bonsoir
ta matrice représente un endomorphisme dans une base
. Garde en tête que la k-ième colonne de ta matrice n'est autre que
Si la 4è colonne vaut i fois la première, alors c'est équivalent à dire que . Et par linéarité, on obtient
Quand même, c'est un peu une "astuce".
Si on devait dresser un cas général, quand la colonne est égale à
fois la première, alors on a
et on trouve le vecteur
avec le 1 au rang k
Dans le cas de ton exercice, ça donne , et il se trouve que ce vecteur est colinéaire à
en multipliant simplement par i, donc c'est aussi un vecteur propre
Ce qu'il faut retenir, c'est que le fait que les vecteurs colonne soient liés entre eux permet d'obtenir un vecteur annulateur facilement en linéarisant la relation qui lie les colonnes
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