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Diagonalisation

Posté par
taupin02 07-11-24 à 22:59

Bonsoir,
L'énoncé de mon exo s'agit de diagonaliser la m atrice suivante dans Mn(C)   :
M=\begin{pmatrix} 0&0 &0 &1 \\ 0& 0&-1 &0 \\ 0& 1& 0& 0\\ -1&0 &0 &0 \end{pmatrix}
son polynome caracteristique est :  P =(x^2 +1)^2 =(x-i)^2 (x+i)^2
pour chercher les vecteurs propres associés à i ,la correction propose de calculer M-iI_4 qui sera égale à:
M-iI_4=\begin{pmatrix} -i &0 &0 &1 \\ 0&-i &-1 &0 \\ 0&1 &-i &0 \\ -1& 0& 0& -i \end{pmatrix}
En remarquant que dans cette dernière matrice, la dernière colonne vaut i fois la première ,ils ont déduit que :
M-iI_4 \begin{pmatrix} 1\\ 0\\ 0\\ i \end{pmatrix} =0
Ce que je n'ai pas compris .
Merci d'avance pour toute aide!






Posté par
taupin02re : Diagonalisation 07-11-24 à 23:03

Désolé , j'ai oublié les parenthèses dans la dérnière deduction ,c'est en fait:
(M-iI_4)\begin{pmatrix} 1\\ 0\\ 0\\ i \end{pmatrix}=0

Posté par
Zormuchere : Diagonalisation 07-11-24 à 23:50

Bonsoir

ta matrice représente un endomorphisme  f  dans une base (b_k)_{1\le k \le 4}. Garde en tête que la k-ième colonne de ta matrice n'est autre que f(b_k)

Si la 4è colonne vaut i fois la première, alors c'est équivalent à dire que  f(b_4)=\mathrm{i}\times f(b_1). Et par linéarité, on obtient f(b_4-\mathrm{i}b_1)=0_E

Posté par
Zormuchere : Diagonalisation 07-11-24 à 23:57

Quand même, c'est un peu une "astuce".

Si on devait dresser un cas général, quand la colonne k est égale à  q  fois la première, alors on a  f(b_k-qb_1)=0 et on trouve le vecteur  (-q,0,0,...,0,1,0,...,0,0,0) avec le 1 au rang k

Dans le cas de ton exercice, ça donne  (-\mathrm{i],0,0,1), et il se trouve que ce vecteur est colinéaire à (1,0,0,\mathrm{i}) en multipliant simplement par i, donc c'est aussi un vecteur propre

Posté par
Zormuchere : Diagonalisation 07-11-24 à 23:58

ça donne (-\mathrm{i},0,0,1)

Posté par
taupin02re : Diagonalisation 08-11-24 à 00:34

Merci , je pense que j'ai plus ou moins arriver à comprendre cet astuce.

Posté par
Zormuchere : Diagonalisation 08-11-24 à 00:56

Ce qu'il faut retenir, c'est que le fait que les vecteurs colonne soient liés entre eux permet d'obtenir un vecteur annulateur facilement en linéarisant la relation qui lie les colonnes

Posté par
taupin02re : Diagonalisation 08-11-24 à 01:12

c'est vrai , merci encore une fois


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