Bonjour
On travaille dans un espace vectoriel de dimension finie E avec un endomorphisme f

Une matrice (D en l'occurrence) n'est pas "exprimée dans une base", elle est une matrice tout court. Mais elle exprime un endomorphisme dans une base

La base de vecteurs propre est une base de E dont les vecteurs sont propres pour f

Je ne comprends pas ce que tu ne comprends pas

Zormuche en fait je ne comprenais pas pourquoi les colonnes de P formait une base de M_n,1(R) mais en fait je crois que c'est bon
Merci !

La voie classique pour diagonaliser, c'est ça :
- vérifier que le polynôme caractéristique est scindé
- déterminer les valeurs propres et leurs multiplicités algébriques, - vérifier si les multiplicités algébriques des valeurs propres sont égales aux dimensions de leurs sev propres associés

En faisant ça, on assure que la dimension de ton espace E est égale à la somme des dimensions des sev propres. En effet, le polynôme carctéristique étant de degré n, la somme des multiplicités algébriques sera aussi égale à n.

Ensuite on peuple D avec les valeurs propres, et P avec des bases de chacuns des sevs propres. Comme les sevs propres sont en somme directe, alors on obtient une base de E en unissant chacune de leurs bases

salut

la matrice A est la donnée d'un endomorphisme f dans "la" base canonique ... c'est à dire une famille libre et génératrice de vecteurs qu'on "numérote" (1, 0, ..., 0) (0, 1, 0, ..., .), (0, 0, 1, 0, ..., 0) la base B

la matrice P^-1 est inversible donc bijective et donc transforme cette base canonique en une base B'

cette base B' est la base des vecteurs propres de f donc f(B') = DB'

ensuite il faut revenir à la base canonique B par la transformation inverse à P^-1 donc P

en fait P (ou son inverse) est la matrice de l'identité vue dans deux bases différentes donc PB = B'

enfin c'est un truc comme ça ... à travailler et réfléchir avec (plus de) rigueur