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Diagonalisation d'un matrice par bloc

Posté par
tr0olled 01-07-10 à 18:15

Bonjour,

Je souhaiterai avoir la correction de l'exercice de la planche 208 de L'officiel de La taupe 2010 dont l'énoncé est :


Soit A une matrice Diagonalisable De Mn(K) ou K = R ou C,
Montrer que B =
4$A=\(A A\\A A\) Est diagonalisable.

J'ai pour cela diagonaliser B à l'aide de la matrice de passage P et une matrice Diagonale D (A=PDP-1)
J'ai ensuite écrit B sous la forme :

4$A = (1/2) * \(P P \\ P P\) * \(D 0 \\ 0 D\) * \(P^{-1} P^{-1}\\P^{-1} P^{-1}\)

Peut on conclure sur le fait que B est bien diagonalisable?, les deux matrices sont elle bien des matrices de passages?

Merci d'avance, Bonne fin d'après midi.

Posté par
tr0olledre : Diagonalisation d'un matrice par bloc 01-07-10 à 18:56

Désolé je reformule le problème, de nombreuses erreurs se sont glissées.

Donc étant donnée A Diagonalisable, on cherche à savoir si B = \(A A \\ A A \) est Diagonalisable

J'ai donc tout d'abord Diagonalisé A (A = PBP-1)

Puis j'ai écrit B de la forme :

B = (1/2)*\(P P \\ P P\) * \( D 0 \\ 0 D\) * \( P^{-1} P^{-1} \\ P^{-1} P^{-1}\)

Est-ce que donc on peut considérer que la matrice : (1/2)*\(P P \\ P P\) Est une matrice de passage? Et en conclure que B est bien diagonalisable?

Merci de nouveaux.

Posté par
raymond Correcteurre : Diagonalisation d'un matrice par bloc 01-07-10 à 18:57

Bonjour/

P P
P P

n'est pas de rang 2n, donc, non inversible.

Cherchons autre chose

Posté par
tr0olledre : Diagonalisation d'un matrice par bloc 01-07-10 à 19:53

En effet, j'ai donc cherché autre chose.

A est diagonalisable donc Il est existe un polynome annulateur scindé simple P = k Xk

Or on montre facilement par récurrence que k > 2, Bk = (2)^{k-1} \( A^k A^k \\ A^k A^k\)

On peut donc en déduire que P" = (k/ 2 (k-1)) * Xk est un polynome annulateur de B

Est-il scindé simple? je ne suis pas sur.. Je suis bloqué !

Posté par
raymond Correcteurre : Diagonalisation d'un matrice par bloc 01-07-10 à 20:40

Je remarque que

\textrm\begin{pmatrix}A&A\\A&A\end{pmatrix}.\begin{pmatrix}X\\-X\end{pmatrix} = O_{2n}

Ceci pour tout vecteur X de IRn. On peut donc choisir une base X1 ... Xn de IRn.

Appelons N la matrice dont les colonnes sont X1 ... Xn

Alors \textrm B.\begin{pmatrix}N\\-N\end{pmatrix} = O_{2n}

De même, pour tout vecteur propre X de A, on aura :

\textrm\begin{pmatrix}A&A\\A&A\end{pmatrix}.\left(\begin{array}{c}X\\X\end{array}\right) = 2\lambda.\left(\begin{array}{c}X\\X\end{array}\right)

Donc, pour tout vecteur propre X de A associé à la valeur propre , tout vecteur du type \textrm\left(\begin{array}{c}X\\X\end{array}\right) sera vecteur propre de B associé à la valeur propre 2.

C'est pourquoi, si P est la matrice diagonalisante de A, je pense qu'une matrice diagonalisante de B sera donnée par :

\textrm \Pi = \begin{pmatrix}P&N\\P&-N\end{pmatrix}

Alors, sauf erreur de calcul :

\textrm \Pi^{-1} = \fra{1}{2}\begin{pmatrix}P^{-1}&P^{-1}\\N^{-1}&-N^{-1}\end{pmatrix}

Alors, je trouve que -1.B. = \textrm\begin{pmatrix}2D&O\\O&O\end{pmatrix}

Posté par
tr0olledre : Diagonalisation d'un matrice par bloc 01-07-10 à 21:31

Merci pour votre réponse rapide!

Je souhaite cependant savoir si il n'existe pas une autre démonstration, car je m'inquiète qu'aucune de mes pistes m'ont amené au bon résultat, et je vous avoue que je n'aurais jamais trouvé la proposition ci-dessus.

Merci encore

Posté par
jandri Correcteurre : Diagonalisation d'un matrice par bloc 01-07-10 à 22:11

Bonsoir tr0olled et raymond,

On peut aussi faire une diagonalisation par blocs:
4$A=PDP^{-1} permet d'écrire 4$B=\begin{pmatrix}P&0_n\\ 0_n&P\end{pmatrix}\begin{pmatrix}D&D\\D&D\end{pmatrix}\begin{pmatrix}P^{-1}&0_n\\0_n&P^{-1}\end{pmatrix}.
Puis il faut diagonaliser la matrice 4$\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&-1\\1&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2&0\\0&0\end{pmatrix}\frac12\begin{pmatrix}1&1\\-1&1\end{pmatrix}.
Cela donne avec des produits par blocs:
4$\begin{pmatrix}D&D\\D&D\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}I_n&-I_n\\I_n&I_n\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2D&0_n\\0_n&0_n\end{pmatrix}\frac12\begin{pmatrix}I_n&I_n\\-I_n&I_n\end{pmatrix}.
Finalement:
4$B=\begin{pmatrix}P&-P\\P&P\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2D&0_n\\0_n&0_n\end{pmatrix}\frac12\begin{pmatrix}P^{-1}&P^{-1}\\-P^{-1}&P^{-1}\end{pmatrix}.

Posté par
raymond Correcteurre : Diagonalisation d'un matrice par bloc 02-07-10 à 08:43

Bonjour jandri

Bravo : méthode plus rapide que la mienne

Posté par
tr0olledre : Diagonalisation d'un matrice par bloc 02-07-10 à 11:41

Merci beaucoup pour vos deux réponses rapides! La correction de Jandri me rassure un peu plus, j'étais sur la bonne voie.

Bonne journée

Posté par
raymond Correcteurre : Diagonalisation d'un matrice par bloc 02-07-10 à 12:31

Bonne journée

Posté par
dindere : Diagonalisation d'un matrice par bloc 22-06-12 à 15:37

Bonjour,

je déterre ce topic car j'aurais besoin d'aide ... Pour la réciproque !

Pour cette réciproque j'ai l'hypothèse supplémentaire A non inversible, et il faut donc montrer que B diagonalisable => A diagonalisable.

Cela ne doit pas être compliqué, dans le cas A diagonale c'est même plié, mais dans le cas général je ne vois pas ... Merci de votre aide !!

Posté par
perroquetre : Diagonalisation d'un matrice par bloc 22-06-12 à 19:38

Bonjour.

Si B est diagonalisable, elle annule un polynôme scindé à racines simples, notons-le P.
0 est racine de P: en effet, toute valeur propre de B est racine de tout polynôme annulateur de B (donc de P) et 0 est valeur propre de B puisque B n'est pas inversible.

On peut alors montrer que   Q(X)=P(2X)  est un polynôme annulateur de A...

Posté par
dindere : Diagonalisation d'un matrice par bloc 22-06-12 à 21:59

Merci pour votre réponse !

Pourriez vous développer les points suivants ?
- je ne vois pas comment vous passez de A non inversible à B non inversible.
- je ne comprends pas à quoi sert le fait que 0 soit racine de P.
- je ne vois pas comment vous montrez que P(2X) annule A...

Merci pour votre aide.

Posté par
perroquetre : Diagonalisation d'un matrice par bloc 23-06-12 à 11:05

Première question:
B n'est jamais inversible puisqu'elle a au moins 2 lignes identiques.

Deuxième question:
Si le terme constant de P n'était pas nul, la suite du raisonnement serait fausse.

Troisième question:
Dans le post de tr0oled du 19 juillet 2010, à 19h53, on trouve l'expression de Bk et on en déduit  que P(B) est une matrice-bloc dont tous les éléments sont égaux à   P(2A)/2 (c'est à cet endroit qu'on a besoin du fait que le terme constant du polynôme P est nul).

Posté par
dindere : Diagonalisation d'un matrice par bloc 23-06-12 à 20:30

Je crois avoir bien compris cette fois, merci beaucoup

(fichtre, que j'ai du mal avec les blocs de matrices...)


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