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Diagonalisation d'une matrice 3x3
J'ai un exercice dans lequel je dois montrer qu'une matrice est diagonalisable. Soit a un réel non nul.
Soit
De manière évidente cette matrice est de rang 1. Donc d'après le théorème du rang, le "noyau de A" est de dimension 2. Donc 0 est valeur propre de A. la somme des valeurs propres valant la trace, on a 3 qui est valeur propre de A. Ainsi A est diagonalisable si et seulement si l'espace propre de A associé à la valeur propre 3 est de dimension 1. Et là, j'aimerais montrer que cet espace propre est nécessairement de dimension 1 sans faire la résolution du système des 3 équations, en avançant que des arguments de dimensions ou de multiplicités. Est ce que vous pouvez me montrer, s'il existe le raisonnement qu'il faut faire parce que j'ai l'impression de mélanger les notions de multiplicité et de dimension. Merci d'avance.
Bonjour,
Tu as tout dit !
et 0 est valeur propre double.
et par définition, cela signifie que
.
(Une valeur propre induit toujours un sous espace propre de dimension au moins égale à 1.)
Comme tu es en dimension 3, et tu as le bon compte des dimensions.
Une autre manière de voir les choses est la suivante : étant donné la forme de A, on calcule très simplement A² et on s'apercoit que d'où un polynôme annulateur scindé simple.
salut
si (i,j,k) est la base et u = i + ai + a2k alors
f(i) = u, f(j) = (1/a)u et f(k) = (1/a2)u
donc l'espace propre est de dimension un qui est la la dimension de Im f .....
d'autre part, i - aj et i - a2k forment une base de Ker f
et évidemment f(u) = 3u
...
D'accord merci à vous deux.
Et sinon, je sais que la somme des dimensions des sous espaces propres est inférieure ou égale à n en dimension n. Mais est ce que la somme des multiplicités des valeurs propres est inférieure ou égale à n. Je pense que oui puisque le polynôme caractéristique est de degré n. Merci d'avance.
De quel multiplicité tu parles ?
Dans un espace de dimension n, il y a au plus n valeurs propres ( tout simplement parce que les sous espaces propres sont en sommes directes et qu'un sous espace propre est toujours de dimension au moins 1.)
Ou oui, d'une autre façon, il s'avère que les valeurs propres sont les racines du polynôme caractéristique P de ta matrice donc on en a au plus deg(P).
Pourquoi ? Il existe plusieurs types de multiplicités ? Moi je parle de celles des valeurs propres en tant que racine du polynôme caractéristique.
On peut parler de multiplicité d'une valeur propre en tant que multiplicité d'une racine dans le polynôme caractéristique ou alors en tant que dimension du sous espace propre qu'il induit et ce ne sont pas toujours les mêmes (cf ton exo.)
Ah ! J'ai compris. Dans mon cours, on ne parle pas de multiplicité en tant que dimension du sous espace propre mais que en tant que multiplicité d'une racine du polynôme caractéristique. Et on dit que M est diagonalisable ssi le polynome cara. est scindé et si la dimension des sous-espaces propres est égale à la multiplicité des valeurs propres associées. Bref, merci pour tes explications. Bonne fin d'après midi.
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