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Diagonalisation d'une matrice - Polynôme caractéristique

Posté par
prepamaths 24-04-15 à 11:34

Bonjour à tous,
Cela fait maintenant plusieurs heures que je bloque sur un exercice: il s'agit de trouver le polynôme caractéristique de la matrice A.
A=[ -1   8   -2
       1    3   -1
       3   -6    2]

Je sais que le dois trouver comme résultat PA(X)= - (5-X)(1-X)(X+2) mais je n'ai pas les calculs détaillés et je n'arrive donc pas à retrouver ce résultat...si quelqu'un pouvait m'expliquer comment trouver ce résultat en détaillant chaque étape (opérations sur les lignes/colonnes, factorisation, développement de lignes/colonnes) je lui en serait infiniment reconnaissante!

Merci d'avance et bonne journée!

Posté par
carpediemre : Diagonalisation d'une matrice - Polynôme caractéristique 24-04-15 à 12:03

salut

un peu de sérieux !!! en math spé

P(x) = det (A - Ix)

Posté par
prepamathsre : Diagonalisation d'une matrice - Polynôme caractéristique 24-04-15 à 12:45

Oui je sais bien mais lorsque je développe, je n'arrive pas à trouver la réponse... Ca m'a l'air trivial comme ça mais je ne sais pas pourquoi je bloque dessus!

Posté par
prepamathsre : Diagonalisation d'une matrice - Polynôme caractéristique 24-04-15 à 16:09

Si quelqu'un peut detailler je suis toujours preneuse d'explications...merci d'avance

Posté par
Gabylunere : Diagonalisation d'une matrice - Polynôme caractéristique 24-04-15 à 17:22

det(A_IX)=det( \begin{pmatrix} \\ -1 & 8 & -2 \\ \\ 1 & 3 & -1 \\ \\ 3 & -6 & 2 \\ \end{pmatrix}- \begin{pmatrix} x & 0 & 0\\ \\ 0 & x & 0 \\ \\ 0 & 0 & x \\ \end{pmatrix})= det( \begin{pmatrix} \\ -1-x & 8 & -2 \\ \\ 1 & 3-x & -1 \\ \\ 3 & -6 & 2-x \\ \end{pmatrix})= (1+x)\begin{vmatrix} \\ 3-x & -1 \\ \\ -6 & 2-x \end{vmatrix} -8 \begin{vmatrix} \\ 1 & -1 \\ \\ 3 & 2-x \end{vmatrix}-2 \begin{vmatrix} \\ 1 & 3-x \\ \\ 3 & -6 \\ \end{vmatrix}
      

Posté par
prepamathsre : Diagonalisation d'une matrice - Polynôme caractéristique 24-04-15 à 19:55

Merci pour ta réponse Gabylune! Et après comment retrouves-tu les facteurs communs? Car si je developpe je trouve (1+x)[(3-x)(2-x)-6]-8[(2-x)+3]-2[-6-3(3-x)]
=(1+x)(x((x-5))-8(5-x)-6(-5+x)
=(5-x)(-x^2-x-2)

Et (-x^2-x-2) ne se factorise pas en (1-x)(x+2)... J'ai surement fait une erreur de calcul mais j'avoue que je ne vois pas où...

Posté par
carpediemre : Diagonalisation d'une matrice - Polynôme caractéristique 24-04-15 à 21:02

alors qu'attend-tu pour reprendre et vérifier tes calculs ... puisque tu connais la réponse ....

Posté par
ThierryPomare : Diagonalisation d'une matrice - Polynôme caractéristique 24-04-15 à 22:14

Bonsoir,

Soit X une indéterminée. L'on a

\left|\begin{array}{rrrrrr}-1-X&8&-2\\1&3-X&-1\\3&-6&2-X\\\end{array}\right|=\left|\begin{array}{rrrrrr}-1-X&0&-2\\1&-1-X&-1\\3&2\,(1-2\,X)&2-X\\\end{array}\right|\\ \\ =\left|\begin{array}{rrrrrr}-1-X&0&-2\\1&-1-X&-1\\0&5-X&5-X\\\end{array}\right|=(5-X)\,\left|\begin{array}{rrrrrr}-1-X&0&-2\\1&-1-X&-1\\0&1&1\\\end{array}\right|\\ \\ =(5-X)\,\left|\begin{array}{rrrrrr}1-X&0&-2\\1-X&-1-X&-1\\0&1&1\\\end{array}\right|=(5-X)\,(1-X)\,\left|\begin{array}{rrrrrr}1&0&-2\\1&-1-X&-1\\0&1&1\\\end{array}\right|\\ \\ =\cdots

Rappel : Le déterminant est une forme multilinéaire alternée... Par exemple, pour l'avant-dernière identité (la moins évidente), j'ai effectué : C_1+C_2-C_3\to C_1. Je te laisse méditer et finir !!

Bonne nuit !

Posté par
prepamathsre : Diagonalisation d'une matrice - Polynôme caractéristique 25-04-15 à 09:51

Merci beaucoup pour ta réponse ThierryPoma! J'y vois tout de suite plus clair. Bonne journée!


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