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diagonalisation de matrice ?

Posté par ladid (invité) 11-11-04 à 20:33

Bonjour à tous, je suis en galère, merci de m'aider.
Diagonaliser la matrice A, déterminer ses valeurs propres et les vecteurs propres associés.
   0 7 -6
A= -1 4 0
   0 2 -2

On rappelle que les valeurs propres λi sont solutions de l'équation det(A-λi*I)=0 avec I la matrice unité.
Les vecteurs propres sont tels que (A-λi*I)*v=0
v et 0 sont sous forme de vecteur.

Posté par keeho (invité)re : diagonalisation de matrice ? 11-11-04 à 21:10

On commence par calculer A-λI. En calculant le déterminant, tu trouves un polynôme de degré 3 à 3 solutions réelles (2,1,-1). Ce sont les valeurs propres de A.
Maintenant on cherche les vecteurs propres associés. Tu prends une des valeurs et tu calcules (A-λi*I)*v=0 avec v(x,y,z) en colonne. Tu fais le produit matrice/vecteur on obtient alors 3 équations à 3 inconnues.

Posté par ladid (invité)re : diagonalisation de matrice ? 11-11-04 à 22:19

Merci keeho, tu pourrais m'aider un peu plus s'il te plaît, je reprend les études et ce que tu m'as donné est déjà très bien mais je galère.En tout cas merci d'avoir répondu aussi vite. A +

Posté par Emma (invité)re : diagonalisation de matrice ? 11-11-04 à 23:23

Salut ladid

Alors, ta matrice est 4$A=\(\array{3,cccBCCC$&&&\\&0&&7&&-6\\&-1&&4&&0\\&0&&2&&-2}\)
Soit \lambda un réel quelconque.
On calcule A - \lambda.I_34$I_3=\(\array{3,cccBCCC$&&&\\&1&&0&&0\\&0&&1&&0\\&0&&0&&1}\)   :

A - \lambda.I_3 = \(\array{3,cccBCCC$&&&\\&0&&7&&-6\\&-1&&4&&0\\&0&&2&&-2}\)  - \(\array{3,cccBCCC$&&&\\&\lambda&&0&&0\\&0&&\lambda&&0\\&0&&0&&\lambda}\)  

A - \lambda.I_3 = \(\array{3,ccccccBCCC$&&&\\&-\lambda&&7&&-6\\&-1&&4-\lambda&&0\\&0&&2&&-2-\lambda}\)

On calcule alors le déterminant de cette matrice, en dévelopant par exemple par rapport à la première colonne :
det(A - \lambda.I_3) = -\lambda.det(\(\array{2,ccccBCC$&&\\&4-\lambda&&0\\&2&&-2-\lambda}\) ) - (-1).det(\(\array{2,ccccBCC$&&\\&7&&-6\\&2&&-2-\lambda}\) )

Donc det(A - \lambda.I_3) = -\lambda \times [ (4-\lambda).(-2-\lambda) - 0 ] + [ 7.(-2-\lambda) - 2 \times(-6)]

Donc det(A - \lambda.I_3) = -\lambda \times [ \lambda^2-2.\lambda-8 ] + [ -7.\lambda - 14 +12]

Donc det(A - \lambda.I_3) =  -\lambda^3+2.\lambda^2+8.\lambda  -7.\lambda - 2

Donc det(A - \lambda.I_3) =  -\lambda^3+2.\lambda^2+\lambda   - 2

Ouf... à suivre

Posté par Emma (invité)re : diagonalisation de matrice ? 11-11-04 à 23:31

Bon, maintenant que l'on a caclulé det(A - \lambda.I_3), il ne faut pas oublier que les valeurs propres de A sont les racines de l'équation en \lambda : det(A - \lambda.I_3) = 0

Il s'agit donc de résoudre -\lambda^3 + 2.\lambda^2 + \lambda - 2 = 0...

Par chance, \lambda_1 = 1 est racine évidente...
Pour trouver les autres racines, tu peux factoriser -\lambda^3 + 2.\lambda^2 + \lambda - 2   par   (\lambda - 1)
Je te laisse faire...

Après factorisation, on arrive à :
-\lambda^3 + 2.\lambda^2 + \lambda - 2 = -(\lambda - 1).(\lambda - 2).(\lambda + 1)

Donc les racines (c'est-à-dire les valeurs propores) sont :
\lambda_1 = 1
\lambda_2 = 2
\lambda_3 = -1

@+
Emma

Posté par Emma (invité)re : diagonalisation de matrice ? 12-11-04 à 00:09

Pour ce qui est des vecteurs propres, tu vas devoir suivre la méthode suivante trois fois (je noterais i, mais tu devras le faire pour i=1, i=2 et i=3, c'est-à-dire pour chaune des trois valeurs propres...


Soit (pour i appartenant à {1 ; 2 ; 3} ) v_i = \(\array{x_i\\y_i\\z_i}\) le vecteur propre de A associé à la valeur propre \lambda_i.

Alors (A - \lambda_i.I_3).v_i = \(\array{0\\0\\0}\)

Donc \(\array{-\lambda_i&7&-6\\-1&4-\lambda_i&0\\0&2&-2-\lambda_i}\) .\(\array{x_i\\y_i\\z_i}\) = \(\array{0\\0\\0}\)

Donc
2$\.\array{rcl$-\lambda_i.x_i+7.y_i-6.z_i&=&0\\-x_i+(4-\lambda_i).y_i&=&0\\2.y_i-(2+\lambda_i).z_i&=&0}\}

Tu vas donc devoir résoudre trois systèmes de trois équations à trois inconnues (pour i=1, i=2 et i=3, les inconnues étant les coordonnées du vecteur v_i...)

Je te laisse faire...
De mon côté, je trouve que

-->  \(\array{x_1\\y_1\\z_1}\) doit être solution de 2$\.\array{rcl$-x_1+7.y_1-6.z_1&=&0\\-x_1+3.y_1&=&0\\2.y_1-3.z_1&=&0}\}

Donc (par exemple) v_1 = \(\array{9\\3\\2}\)

-->  \(\array{x_2\\y_2\\z_2}\) doit être solution de 2$\.\array{rcl$-2.x_2+7.y_2-6.z_2&=&0\\-x_2+2.y_2&=&0\\2.y_2-4.z_2&=&0}\}

Donc (par exemple) v_2 = \(\array{4\\\2\\1}\)

-->  \(\array{x_3\\y_3\\z_3}\) doit être solution de 2$\.\array{rcl$x_3+7.y_3-6.z_3&=&0\\-x_3+5.y_3&=&0\\2.y_3-5.z_3&=&0}\}

Donc (par exemple) v_3 = \(\array{5\\\1\\2}\)

--------------------

Bon, voilà pour la résolution....
Il ne te reste plus qu'à reprendre le tout...

Bon courage

@+
Emma

Posté par ladid (invité)DIAGONALISATION DE MATRICE ? 12-11-04 à 17:53

MERCI ET RESPECT A EMMA. BISE.

Posté par Emma (invité)re : diagonalisation de matrice ? 12-11-04 à 17:55

Pas de quoi, ladid

Emma



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