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Diagonalisation de matrice, avec parametre
Bonsoir tout le monde !
Je suis en train de faire des annales pour mon examen d'algèbre (demain) et je voudrais demander l'aide d'un oeil avisé.
Voici l'exercice :
A = (1 1 1)
(0 1+a a)
(1 -1 1)
et B= (1 0 0)
(0 a a-1)
(1 0 2)
Pour quelles valeurs de a la matrice A est-elle inversible ?
Réponse : a
0 (apres résolution d'un systeme).
Pour quelles valeurs de a le vecteur (1 0 -1) est-il vecteur propre de A ?
a=0, associé a la valeur propre 
=0.
Pour quelles valeurs de a le vecteur (1 1 0) est-il vecteur porpre de A ?
a=1, et la valeur propre associée est =2.
Pour quelles valeurs de a le réel 1 est-il une valeur propre de la matrice A ?
Bizarrement, je trouve toutes les valeurs de a..
(j'obtiens apres calcul det(A - I3)= a - a)
La question a 48.000 : pour quels valeurs de a la matrice A est-elle diagonalisable ? A quelle matrice diagonale peut-on alors la réduire ?
Je trouve, apres calcul du polynome caractéristique le polynome suivant :
(-2)(-2 + (1+a) -a)
Mon raisonnement ensuite est le suivant : si A admet trois valeurs propres distinctes, alors A est diagonalisable. Ainsi, il suffit que le membre de droite du produit, qui est polynome du second degré ademtte deux racines distinctes, et apres calcul du déterminant, j'ai : 
= (1-a)2, donc pour a -1 (sinon on a une racine double) et pour a2 (car sinon l'une des racines est égale a 2 qui est déja racine du polynome caractéristique), j'ai bien trois valeurs propres distinctes.
Alors voila, de un, je ne sais pas si j'ai tout bon jusqu'a présent, et de deux, j'ai prouvé pour quelles valeurs A était diagonalisable sans toutes les trouver nécessairement. Comment fais-je pour conclure a la derniere question posée ?
PS : merci beaucoup de votre aide, j'ai exam dans 9 heures, ce serait pas mal que je sache faire ca.
Bonsoir,
Bizarrement, je trouve toutes les valeurs de a..
(j'obtiens apres calcul det(A - I3)= a - a)
C'est effectivement faux à mon avis, en effet si a=1, alors les racines de ton polynôme caractéristique sont 2 et -1
et donc 1 n'est pas une valeur propre. Par contre c'est le cas pour a =-2 ou a = 4 sauf erreurs.
j'ai :
= (1-a)2, donc pour a-1
j'ai prouvé pour quelles valeurs A était diagonalisable sans toutes les trouver nécessairement.
Effectivement mais tu connais les valeurs de a pour lesquelles A n'as pas trois valeurs propres distinctes, ainsi il te faut regarder la dimension de l'espace propre associé à la valeur propre qui est racine du polynôme de degré 2 (dans ton polynôme caractéristique) pour ces a. Si la dimension est 2 alors A est diagonalisable (car la somme des dimension des espaces propre vaut la dimension de l'espace) sinon elle ne l'est pas.
Tout d'abord merci pour ta réponse !
Ensuite, je vais détailler mon calcul du déterminant de A-I3 :
A-I3 =
(0 1 1)
(0 a a)
(1 -1 0)
J'applique la méthode de Saurus, et ca me donne a chaque fois 1xax1 -1xax1, ou est mon erreur ??
Pour a différent de -1, je me suis effectivement trompé, je voulais dire 1.
Et pour le troisieme point, je m'y attelle tout de suite (est ce que mon polynome caract. est correct ?)
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