Niveau Maths sup

Diagonalisation de matrice et suite

Posté par lMatal (invité) 27-03-05 à 17:50

bonjour, petit exercice d'algèbre sur la diagonalisation d'une matrice (2;2) et les suites qui nous posent problème. Nous vous le soumettons pour voir si vous pouvez nous apporter un peu d'aide.

Soit A = [(2,-1);(5/2,-1)]

1)Diagonaliser A sur C (pour le coup, on y est arrivé)
2) Soit Un et Vn deux suites réelles vérifiant pour tout n appartenant à N :
Un+1 = 2Un-Vn
Vn+1 = (5/2)Un-Vn

Sans calculs, et a l'aide de la question précédente, montrer que Un et Vn tendent vers 0 quand n tend vers l'infini. (là on lutte totalement en fait)

3)Déterminer Un et Vn en fonction de n, U0 et V0 (ça ça doit être faisable facilement).

Si vous avez des idées, nous vous en remercions à l'avance !

Posté par re : Diagonalisation de matrice et suite 27-03-05 à 18:16

bah je pense ke pr la question 2 il vs faut utiliser la forme diagonale ke vs aV trouver,
un equivaut à la D1,1 et vn equivaut à D2,2 (D votre forme diagonale)

Posté par re diagonalisation 28-03-05 à 10:24

Bonjour.
Vu ta demande et tes réponses, je suppose que les valeurs propres trouvées sont $\lambda_1=\frac{1}{2}-\frac{i}{2}$ et $\lambda_2=\frac{1}{2}+\frac{i}{2}$ . Or, $\lambda_1=\sqrt{2}.e^{\frac{-i\pi}{4}}$ et $\lambda_2=\sqrt{2}.e^{\frac{i\pi}{4}}$ .
Un vecteur propre associé à $\lambda_1$ est $(\array{2\\3+i})$ et pour $\lambda_2$ , $(\array{2\\3-i})$ .
Soit alors $P=(\array{2&2\\3+i&3-i})$ et $D=(\array{\lambda_1&0\\0&\lambda_2})$ .
Ainsi, $A=P.D.P^{-1}$ .  On a : $A^2=P.D.P^{-1}.P.D.P^{-1}=P.D^2.P^{-1}$ et en continuant, il vient : $A^n=P.D^n.P^{-1}$ .
Dès lors, chercher les puissances de A revient à chercher les puissances de D.  Or, $D=\frac{1}{2}(\array{1-i&0\\0&1+i})=\frac{1}{2}(\array{\sqrt{2}.e^{\frac{-i\pi}{4}}&0\\0&\sqrt{2}.e^{\frac{i\pi}{4}}})=\frac{\sqrt{2}}{2}(\array{e^{\frac{-i\pi}{4}}&0\\0&e^{\frac{i\pi}{4}}})=\frac{1}{\sqrt{2}}(\array{e^{\frac{-i\pi}{4}}&0\\0&e^{\frac{i\pi}{4}}})$ .
Donc, $D^n=(\frac{1}{\sqrt{2}})^n(\array{e^{\frac{-i\pi}{4}}&0\\0&e^{\frac{i\pi}{4}}})^n=\frac{1}{2^{\frac{n}{2}}}(\array{e^{\frac{-in\pi}{4}}&0\\0&e^{\frac{in\pi}{4}}})$ .
Mais, $e^{\frac{in\pi}{4}}$ est l'affixe d'un point du cercle de centre O et de rayon 1 déterminé par l'angle $\frac{n\pi}{4}$ (donc fixé) et $\frac{1}{2^{\frac{n}{2}}$ tend vers 0 lorsque n tend vers l'infini.
La question 3 se lie avec la question 2 :
soit $X_n=(\array{U_n\\V_n})$ .  Ainsi, les suites $U_n$ et $V_n$ sont liées par $X_{n+1}=A.X_n$ .  On en déduit que : $X_1=A.X_0$ , $A_2=A^2.X_0$ , etc. et $X_n=A^n.X_0=P.D^n.P^{-1}.X_0$ .
A toi de conclure...
Bon travail.

Posté par lMatal (invité)re : Diagonalisation de matrice et suite 28-03-05 à 10:50

Merci, bien ! Avec ça, je devrais m'en sortir !

Juste une question pour D, comment l'avez-vous trouvé car je ne me souviens pas avoir trouvé la même solution !

Merci en tout cas pour vos réponses, bonne journée à vous tous

Posté par re diagonalisation 28-03-05 à 13:58

Rebonjour.
Puisque A admet deux valeurs propres distinctes et que A est d'ordre 2, A se diagonalise en la matrice $D=(\array{\lambda_1&0\\0&\lambda_2})$ (voir ton cours, c'est la définition de la diagonalisation d'une matrice). Si A est d'ordre 3, la diagonalisation serait $D=(\array{\lambda_1&0&0\\0&\lambda_2&0\\0&0&\lambda_3})$ avec A ayant trois valeurs propres distinctes.
A+

Posté par re diagonalisation 28-03-05 à 14:04

Pour les deux valeurs propres, il suffit de résoudre l'équation caractéristique de A : $det{A-\lambda.I}=0$ où I est la matrice unité, ce qui donne $2\lambda^2-2\lambda+1=0$ et l'on trouve $\lambda_1=\frac{1}{2}-\frac{i}{2}$ et $\lambda_2=\frac{1}{2}+\frac{i}{2}$ .
A+

Posté par re 28-03-05 à 14:12

Une petite rectification d'erreur de frappe : j'ai indiqué $A_2=A^2.X_0$ . On a bien entendu $X_2=A^2.X_0$ .
C'est ce qui arrive quand on veut aller trop vite pour répondre.

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