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diagonalisation et inversion d'une matrice
Soit la matrice A = 1 0 0
0 1/2 1
0 0 1
1)quelles sont les valeurs propres de A ? Montrer que A est diagonalisable.
Alors j'ai calculé le polynome caractéristique de A. Je trouve (1-&)(0.5-&)(1-&)
A partir de là est-ce que je peux dire directement que &=1 et &=0.5 sont racines évidentes. Et ensuite de façon directe qu'elles sont valeurs propres? avec &=1 valeur double puisque je le trouve deux fois, et 0.5 valeur simple ?
Ensuite j'ai voulu déterminer les espaces propres.
Pour &=1 donc Au = 1u soit
1 0 0 x x
0 1/2 1 y = 1 y
0 0 1 z z
mais je trouve x=x
0.5 y+z=y
z=z
c'est tout a fait idiot non ?
Je me plante dans mon raisonnement ...
Les maths ne sont vraiment pas mon fort! si quelqu'un pouvait m'éclairer si serait avec plaisir. Merci
2) Montrer que A est inversible et calculer son inverse.
Je sais comment faire pour calculer l'inverse d'une matrice mais comment faire pour prouver qu'elle est inversible ?
Merci
Salut,
Alors j'ai calculé le polynome caractéristique de A. Je trouve (1-&)(0.5-&)(1-&)
A partir de là est-ce que je peux dire directement que &=1 et &=0.5 sont racines évidentes. Et ensuite de façon directe qu'elles sont valeurs propres? avec &=1 valeur double puisque je le trouve deux fois, et 0.5 valeur simple ?
Oui bien sûr !!
Ensuite, je comprend pas trop ! Il faut que tu calcules
Bonjour,
1. Ok pour les valeurs propres et les multiplicités associées.
2. Ton système est juste. Il est équivalent à y=2z d'où l'espace propre associé à la valeur propre 1 : Vect((0,2,1),(1,0,0)).
2) montre que la matrice n'a pas 0 comme valeur propre, o{ de manière équivalent que le déterminant est non nul.
Je sais comment faire pour calculer l'inverse d'une matrice mais comment faire pour prouver qu'elle est inversible ?
Tu peux montrer que le déterminant de A est non nul.
merci à tous
Si je comprend c'est dans l'expression des espaces propres que je m'embrouille.
Merci pour vos indications je continue
y = 2z est l'équation d'un espace vectoriel de dimension 2.
Il suffit d'exhiber deux vecteurs non colinéaires pour en déterminer une base.
Par exemple, (0,2,1) et (1,0,0) 
Bonjour
Il faut que tu calcules
non, il ne faut pas ! il peut déterminer ces noyaux, mais la méthode qu'il a suivie, en revenant à la définition des vecteurs propres, est tout à fait valable....
soit dit en passant "calculer" en ensemble, ça veut dire quoi ?
Pour la valeur propre 1/2, mon système donnera donc x=0.5x
0.5y+z = 0.5y ->0y=-z
z=0.5z
mais je flanche sur mon vecteur, je dirais bien (0,0,0) parce que pour que ça marche il faudrait que tout soit égal à 0 ?
mais dans mon cours on semble plutôt exprimer les coeff devant mon système mais là ça ne semble pas cohérent. Si je me trompe expliquez moi s'il vous plait
merci
si tu ne trouves que le vecteur nul, c'est que 0.5 n'est pas valeur propre ou que tu te trompes en résolvant le systèeme
ici, c'est la deuxième option : où as-tu vu que y devrait être égal à 0 ?
Tu obtiens bien x = 0 et z = 0, mais tu n'as aucune condition sur y !!
Choisis par exemple le vecteur (0,1,0) comme base de cette droite vectorielle.
Maintenant que tu as déterminé les sous-espaces propres de cette matrice, comment en déduis-tu qu'elle est diagonalisable ?
Donc si je comprend bien comme x et z n'ont pas de solution je met 0 pour chacun dans mon vecteur. Et comme y a de multiples solutions je met 1. Mais je pourrais tout aussi bien mettre 2 ect ?
Je prouve que c'est diagonalisable parce que mes espaces propres sont de même taille que mes valeurs propres (double pour 1 et simple pour 1/2) deux vecteurs non liés pour 1 et 1 pour 1/5. Les autres seraient vecteurs liés.
C'est ça ?
"x et z n'ont pas de solution" : ça n'a aucun sens ! x et z sont des inconnues, pas des équations ....
ton système se résume à x = 0, z = 0, donc ses solutions sont tous les triplets du genre (0 ; y ; 0), où y est un réel
l'ensemble de ces solutions est une droite vectorielle de base (0 ; 1; 0), ou (0 ; 2; 0), ou (0 ; -1; 0), ou (0 ; pi; 0)... tu choisis y comme tu veux, mais non nul, et tu obtiens une base de cette droite !
Je prouve que c'est diagonalisable parce que mes espaces propres sont de même taille que mes valeurs propres
C'est quoi la taille d'une valeur propre ?!
La somme des dimensions des sous-espaces propres (2+1) est égale à la dimension de
ou encore la dimension de chaque espace propre est égale à la multiplicité de la valeur propre associée, donc c'est diagonalisable.
ça doit être ce que rasta1 essayait maladroitement d'exprimer avec son " de la même taille".
Dimensions des espaces-propres = multiplicités des valeurs propres associées : OK (mais pas "tailles" des valeurs propres !!).
salut
les valeurs propres d'une matrice triangulaire sont ses éléments diagonaux ...
d'autre part en notant (i, j, k) "la base canonique"
il suffit de regarder pour voir que Ai = i et Aj = (1/2)j
en regardant d'un peu plus près encore alors
A(2j + k) = j + j + k = 2j + k
....
en posant u = 2j + k
dans la base (i, j, u) la matrice est a matrice diag (1, 1/2, 1)
sont inverse est diag(1, 2, 1) et il suffit de revenir à la base (, j, k) .....
oui oui...je m'exprime très mal du coup forcément je ne comprend pas tout.
Dans mon cours si la dimension des espaces propres est égale à l'ordre de multiplicité des valeurs propres alors A est diagonalisable. Pour ma valeur propre 1 qui double je trouve deux espaces propres et pour 1/2 je trouve un espace propre. Du coup je conclue que A est diagonalisable. Je ne ais pas si je m'exprime correctement
Pour ma valeur propre 1 qui double je trouve deux espaces propres et pour 1/2 je trouve un espace propre. Du coup je conclue que A est diagonalisable. Je ne ais pas si je m'exprime correctement
Non, il n'y a pas DEUX espaces propres associés à la valeur propre 1 mais UN espace propre de DIMENSION DEUX. C'est compris ?
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