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Diffeomorphisme
Bonjour,
quelqu'un sait-il comment prouver que si f est une application de classe C1 de Rn dans Rn alors :
f est un diffeomorphisme de Rn sur Rn ssi
f est propre et Df(x) est inversible en tout point.
J'ai fait un exo dans le cas particulier ou : ||f(x)-f(y)||>=k(x-y) ce qui entraine que f est propre car ||f(x)|| tend vers l'infini quand ||x|| tend vers l'infini.
Bonjour Cauchy
Je ne l'avais pas vu. Je pense que je l'ai déjà rencontré, j'espère donner une solution demain (je ne veux pas écrire des bêtises en me précipitant).
Bonjour Cauchy
Je savais bien que j'avais déjà vu ça quelque part. Il s'agit d'un théorème de Hadamard, dont la démonstration demande des outils de niveau assez élevé.
Je vais faire un résumé en m'inspirant de ce que j'ai trouvé dans
"Agrégation de mathématiques
Cours d'analyse
Calcul différentiel, intégration et probabilités
de Paul DOUKHAN et Jean-Claude SIFFRE
DUNOD
Pour plus de clarté je note E le Rm de départ et E' celui d'arrivée.
On suppose donc f propre, C1 et Dfx inversible pour tout x.
A cause du théorème d'inversion locale, f est ouverte.
Une fonction continue et propre est fermée: Soit F un fermé de E. Soit f(xn) une suite qui converge vers y avec les xn dans F. Comme l'ensemble des f(xn) plus y est un compact, et comme f est propre, les (xn) forment une suite bornée. On en extrait une suite
(xm) qui converge vers un x qui est dans F car F est fermé. Alors la continuité de f dit que f(xm) converge vers f(x); mais c'est une suite extraite de (f(xn)) donc y=f(x) et on a montré que y est dans f(F).
Comme f est ouverte et fermée f(E) est un ouvert, fermé, non vide dans le connexe E', donc f(E)=E' et f est surjective.
Soit b dans E'. A cause de la locale injectivité, les éléments de f-1(b) sont isolés, et la propreté dit que cet ensemble est fini. Posons donc
f-1(b)={a1,...,ap}. Avec le théorème d'inversion locale on construit un voisinage ouvert V de b et des voisinages ouverts Ui des ai disjoints et tels que f réalise des homéomorphismes de chacun d'eux sur V. Ensuite, en utilisant astucieusement un voisinage compact de b contenu dans V et la propreté, on se convainc qu'il existe un voisinage de b dont l'image réciproque est formée exactement de voisinages disjoints des ai. On obtient que l'ensemble des y qui ont exactement p antécédents est un ouvert fermé, donc c'est tout.
Jusqu'ici c'est de la topologie envisageable à un niveau "élémentaire". Pour récupérer l'injectivité, il faut montrer que p=1, et c'est là que les choses se gatent.
En fait, nous avons démontré que f:E
E' est un revêtement à p feuillets. Quand on étudie cette espèce de bêtes on démontre que si E' est étoilé, (contractile, tel que je l'ai défini dans l'histoire des PEIGNES suffit) alors E possède p composantes connexes homéomorphes chacune à E'. Comme ici E est connexe, on a nécessairement p=1.
En fouillant j'ai trouvé un exo sur le même sujet, bien plus abordable, que je mets dans un nouveau topic.
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