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Niveau Licence Maths 1e ann
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Difféomorphisme et théorème d'inversion global

Posté par
Darkingami
27-12-17 à 15:47

Bonjour,
Je poste ici la résolution de l'exercice suivant. Comme je ne suis pas très à l'aise avec ces notions et que je n'ai pas de corrigé car c'est une annale d'examen, j'aimerais que vous discutiez ma correction si vous avez le temps.

On pose :  D=] 0,+\infty [\times R
On considère la fonction g : D\rightarrow R² définie par g(r,u)=(rcosh(u),rsinh(u))  

1) Montrer que g est un C²-difféomorphisme de D sur son image.
2) Etant donné f : R²->R une application de classe C², on définit la fonction : F(r,u)=f(rcosh(u),rsinh(u))
Montrer que F est de classe C² sur D
3) Calculer la différentielle de F en tout point (r,u) appartenant à D.
4) Déterminer \Omega =g(D) (justifier)

Ma rédaction :
1) g est de classe C² car elle est composée de fonctions de classe C² sur D et D est un ouvert. L'image de g est un ouvert car g est C² sur D et D est un ouvert.
Sa jacobienne est :
Jg(r,u)=\begin{pmatrix} cosh(u) &r sinh(u) \\ sinh(u)&rcosh(u) \end{pmatrix}
Le déterminant de la jacobienne est égal à r.
Or r>0 donc J est inversible ce qui signifie que la différentielle de g est inversible.

Donc, avec le théorème d'inversion global, g est un C²-difféomorphisme de D sur son image.

2) g est C² sur D, f est C² sur R, donc F est C² sur D.
3)JF(r,u)=Jf\circ Jg(r,u) car f et g sont C² respectivement sur R et D
4)r>0 et cosh(u)>>0 et cosh(u) surjective dans R+
sinh(u) surjective dans R donc \Omega =]0,+\infty [\times R

J'ai conscience que la rédaction est rapide mais je ne vois pas trop comment développer plus. N'hésitez pas à chipoter (il y a matière certainement).
Merci d'avance et passez de bonnes fêtes.

Posté par
Darkingami
re : Difféomorphisme et théorème d'inversion global 27-12-17 à 15:49

Petite coquille, à la question 4) je voulais écrire cosh(u)>0

Posté par
Camélia Correcteur
re : Difféomorphisme et théorème d'inversion global 27-12-17 à 16:01

Bonjour

Je vais chipoter...

1) L'image d'un ouvert par une application C^2 n'est pas toujours un ouvert. Prends la fonction nulle!
C'est vrai qu'un difféomorphisme local est une application ouverte, donc il faut d'abord calculer le jacobien.
Un difféomorphisme local en chaque point, peut ne pas être injectif. Il faut vérifier l'injectivité avant d'appliquer le théorème global.

2) et 3) OK

4) \Coshh n'est pas surjective sur \R_+, on a \Ch(x)\geq 1 pour tout x\in\R.

Il faut vraiment faire le boulot pour montrer la surjectivité!

Posté par
Darkingami
re : Difféomorphisme et théorème d'inversion global 27-12-17 à 16:11

Là ce n'est pas du chipotage, ce sont de grosses erreurs. Merci, je vais reposter mes réponses plus travailler incessamment sous peu.  Juste une petite question : il est nécessaire de montrer que l'image de g est un ouvert à la question 1 ? J'ai encore du mal à identifier les hypothèses requises pour appliquer le théorème.
Merci beaucoup

Posté par
Camélia Correcteur
re : Difféomorphisme et théorème d'inversion global 27-12-17 à 16:20

Non, l'image d'un difféo local en chaque point est forcément un ouvert. Mais on te demande la bijectivité avec l'image, donc il faut prouver l'injectivité.

Reprends tranquillement, je reviens demain. Si tu veux continuer quelqu'un prendra probablement ma suite!

Posté par
Darkingami
re : Difféomorphisme et théorème d'inversion global 28-12-17 à 09:57

1) g est de classe C² car elle est composée de fonctions de classe C² sur D et D est un ouvert.
Sa jacobienne est :
Jg(r,u)=\begin{pmatrix} cosh(u) &r sinh(u) \\ sinh(u)&rcosh(u) \end{pmatrix}
Le déterminant de la jacobienne est égal à r.
Or r>0 donc J est inversible ce qui signifie que la différentielle de g est inversible.

Montrons l'injectivité de g
Posons le système \begin{cases} rcosh(u)=r'cosh(u') \\ rsinh(u)=r'sinh(u') \end{cases} avec (r,u),(r',u') appartenant tout les deux à D
(Je trouve r=... en divisant par cosh(u) dans la première équation, ce qui en remplaçant r dans la deuxième équation me permet de trouver u=u'. Ensuite comme sinh(u) est injective dans R, si u=u' cela implique que sinh(u)=sinh(u') donc que r=r') Je n'ai pas l'habitude de latex, la rédaction est plus propre sur ma feuille.
Donc g est injective.


Donc, avec le théorème d'inversion global, g est un C²-difféomorphisme de D sur son image.

Posté par
Camélia Correcteur
re : Difféomorphisme et théorème d'inversion global 28-12-17 à 14:14

Me revoilà!
Pour l'instant OK



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