Calcule le jacobien!! Et applique le théo d'inversion locale.

Merci,

Mais : c'est tout ?

Mais le jacobien en quel point ? en (x,y) ?

Je ne vois pas trop le rapport avec le TIL ! car celui-ci fait intervenir un C^k-difféomophisme seulement...

En tout cas, merci de me consacrer un peu de votre temps, c'est sympa

Le difféormorphisme dans le théo d'inversion local est de même régularité de la fonction que tu étudies. C'est à dire que si f est Ck alors f^-1 est aussi Ck, ici f est C infini, donc...
Enfin le jacobien tu le calcule en tout point ou tu veux montrer que f est localement inversible...

OUi je connais ce théorème et je n'y avais pas du tout pensé !

Donc il faut d'abord que je montre que f est un difféomorphisme de classe C^k

Donc f^(-1) l'est aussi.

Ensuite on calcule le jacobien et là où il est différent de zéro, alors daf est un isomorphisme.

Mais ne faut-il pas faire intervenir des ouverts pour le TIL ?

Encore une fois, merci pour votre patience.

Non en fait je mélange tout !

heu si f est un dfféomorphisme f^-1 aussi. Il suffit que tu prouves que f est C infini et ensuite en chaque point ou df est un isomorphisme le theo d'inversion locale t'assure que localement f est un Cinfini difféomorphisme (c'est à dire sur un petit ouvert autour du point).

Dans votre dernière message, je comprends cette partie :  

Salut,
un truc facile aussi (mais peut être hors contexte) serait celui ci:
f(x,y)=(u(x,y),v(x,y))=u(x,y)+iv(x,y)
Notamment f(x,y)=e^(x+iy)=e^z pour z=x+iy

Il est donc clair que f est localement un C infini difféomorphisme, mais ca n'utilise surement pas la philosophie du cours.
a+

il est clair que si f est un C-k difféomorphisme , alors f^-1 est aussi un C-k difféormorphisme c'est casiment la défiition d'un C-k difféomorphisme.
A quoi nous sert f^-1, heu ca dépend dans ton exo à rien à priori.
Je disai juste que quand tu as écrit f est un difféomorphisme donc f^-1 l'est aussi, c'est clair que si f est un difféo alors f^-1 l'est aussi. Maus tu n'as pa besoin de f^-1 pour calculer la jacobienne. J'espère que je t'emmelle pas encore plus...
Pour ton exo donc tu dis que f est Coo et tu calcules le jacobien et dnas les points ou il n'est pas nul tu a un Coo-difféomorphisme local.

D'accord, donc ici le Jacobien vaut sur tout

C'est bon j'ai enfin compris !

Merci pour votre patience

Exactement

D'accord j'ai tout à fait compris votre démarche !

Une dernière chose : le caractère local, d'où vient-il ici ? Puisqu'à priori, le jacobien est calculé sur tout , non ?

Et peut(on dire qu'ici f est un C^k-difféomorphisme tout court ?

Je pense que non mais je n'arrive pas à justifier !

La réponse est non. Il faut rajouter la condition que f soit injective...

C'est clairement pas bijectif, donc tu auras du mal à avoir un difféomorphisme ou tout simplement un homéomorphisme...

Le problème étant que f(x,y)=f(x,y+2pi)

Merci otto, très bien vu !

J'étais arrivé à la même conclusion en m'intéressant à un peiti système.

Je suis parti de