La suite de fonctions définies par   converge simplement sur vers la fonction définie par si et . Elle ne converge pas uniformément sur .

bonjour : )

Soient I un intervalle de non réduit à un point et une série de fonctions définies sur I et à valeurs dans ou .
La série de converge uniformément sur I si et seulement si elle converge simplement ET son reste (d'ordre n) converge uniformément vers la fonction nulle sur I.

Pour la convergence simple on sait qu'il y a convergence vers une certaine sans plus.
Mais pour la convergence uniforme, on a introduit une certaine régularité. Désormais, quel que soit le point de I, la vitesse de convergence en est indépendante et reste la même. Dit autrement, en plus d'une convergence simple, la convergence uniforme donne l'assurance que pour toutes valeurs de I, les fonctions u_n convergent à la même vitesse vers .

Merci pour l'exemple Recomic ; Je sais déjà des contre exemples mais j'avais besoin d'une explication qui m'aidera a bien 'imaginer' ou plutot visualiser le théorème, c'est ce que mdr_non a fait merci beaucoup !!


Cordialement!!

de rien : ) et bonne continuation : )

Première remarque : le fait de parler de suites ou de séries de fonctions ne change absolument rien au problème de la différence entre convergence simple et convergence uniforme.
Deuxième remarque : que veut dire "vitesse de convergence" ? cf ?

Bonjour !
@mathslover. Une autre façon de "voir" la différence :
Si la limite simple de est , tu traces les courbes représentant ce qui te montre une sorte de "bande curviligne".

Si la convergence est uniforme la courbe représentant , pour assez grand reste dans la bande "curviligne" dessinée.

Quand la convergence n'est pas uniforme  aussi grand que tu prennes un "morceau" de la courbe représentant sortira de la bande.

Finalement, on en revient au fait que mathslover ne peut pas faire l'économie d'une bonne compréhension du fonctionnement des quantificateurs :

Convergence simple sur I :

Pour le prouveur il suffit d'exhiber un chaque fois qu'on lui propose un et un : le dépend de et de , il peut changer si on change de .

Convergence uniforme sur I :

Ici le prouveur doit, chaque fois qu'on lui propose un , être capable d'exhiber un qui marche pour tous les de : le ne dépend que de , il doit être uniforme en .

L'image de la bande donnée par luzak peut être utile.

Bonsoir,
Ce que j'ai vraiment compris de ce que mdr_non a dit, C'est qu'un moment donné au plutôt pour un n assez grand les courbes de fn seront ressérée près de celle de f la limite éventuelle. Et comme résumé, la différence existe dans le fait qu'une convergence simple est plus au moins ponctuelle c'est a dire convergence point par point  pendant que la convergence uniforme est plus forte car les graphes des fn seront groupé dans une bande  de taille (comme a mentionné luzac) donc d'une facon globale on controle la différence entre fn et f.

Merci Recomic pour l'explication!!