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Différence entre CLU et CU (convergence)
Re bonjour,
quelle est la différence entre la convergence uniforme et la convergence localement uniforme ?
Si j'en suis mon cours , on parle de convergence locale unfiforme quand la suite fn converge uniformément sur tout segment d'un intervalle I.
On parle de convergence uniforme quand la limite quand n tend vers l'infini de sup |fn(x)-g(x)| vaut 0 .
Mais quand on a convergence local uniforme on a forcément convergence uniforme . Je vois pas pourquoi on a introduit ce CLU à quoi sert il ? pourquoi ne peut on pas toujours simplement parlé de convergence uniforme ?
Si vous avez un petit exemple pour comprendre ça serait cool
MERCI.
Bonjour
Non, le fait de converger uniformément sur des segments n'entraine pas la convergence uniforme sur tout l'intervalle.
Prends simplement sur [0,1[ et regarde ce qui se passe sur
bah si je prend a= 0,2 et b=0,4 alors fn(x) ne converge pas vers g sur [a,b] , non ? Par contre je dis ça en faisant un dessin mais mathématiquement parlant je sais pas si c'est vrai.
Non, tu dois regarder vraiment sur chaque intervalle [a,b] et justement ça converge uniformément sur chaque intervalle de ce type, mais pas sur [0,1[
On a |fn(x)-g(x)|=|x^n-0|=x^n
Or lorsqu'on a 0<=x<1 , alors sup x^n = 1 et donc on a pas la CU car sup|fn(x)-g(x)| doit valoir 0 losque n tend vers l'infini.
Je suis donc d'accord que il n'y pas CU sur [0,1[
mais si je prend [a,b] = [0,4 ; 1[ il est bien inclu dans [0;1[ non ? et par conséquent cette intervalle ne sera pas non plus CU ...
Ah ok . Donc je peux prendre [0,4 ; 0,999999999 ] et donc ça converge. Je comprends maintenant
Merci pour ton aide.
Bonjour,
Je profite de ce sujet pour poser ma petite question aussi.
Si on a fn CLU vers g dans [a;b]
Alors fn CU vers g dans [a;b] ?
Avec ce qui a été dit par Camelia, ça me semble évident. Mais en cours, mon profs nous a dit que CU => CLU mais que la réciproque était fausse.
Merci
Hello,
Camélia a justement donné un contre exemple dans ce post
(x^n) converge loc. uniformément sur [0,1] sans converger uniformément sur ce segment
Bonjour,
La réciproque est fausse en général, ce qui ne veut pas dire qu'elle est toujours fausse.
Elle peut être vraie dans des cas particuliers, comme celui que tu mentionnes, qui est relativement trivial : [a,b] étant un segment, donc la CLU sur [a,b] entraîne bien évidemment la CVU sur [a,b].
(x^n) converge loc. uniformément sur [0,1] sans converger uniformément sur ce segment
Il y a CLU sur [0,1[, l'intervalle semi-ouvert.
Bonjour,
La réciproque est fausse en général, ce qui ne veut pas dire qu'elle est toujours fausse.
Elle peut être vraie dans des cas particuliers, comme celui que tu mentionnes, qui est relativement trivial : [a,b] étant un segment, donc la CLU sur [a,b] entraîne bien évidemment la CVU sur [a,b].
Ok, merci bien
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