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Niveau Licence Maths 1e ann
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Différence entre une différentiel et une dérivée.

Posté par
marvin45
30-01-14 à 19:48

Bonjour,j'aurais voulu connaitre la différence entre une différentielle et une

dérivée parce que dans un exercice on me dit de calculer la différentielle dT

de la période T=2π*√(l/g)=u* v d'un pendule.
Et moi j'ai bêtement calculer la dérivée de T.

Posté par
boninmi
re : Différence entre une différentiel et une dérivée. 30-01-14 à 20:08

La dérivée par rapport à quelle variable ?
Que veut dire ce u*v ?

Une dérivée pour une valeur donnée l0 de la variable est une valeur a0.
La différentielle dT pour une valeur donnée l0 de la variable est la fonction linéaire

dT : dl -> a0.dl

où dl représente une variable baptisée pour des raisons historiques "accroissement infinitésimal de la variable l".
Si tu as posé T = f(l), et que tu as calculé sa dérivée f'(l), alors a0 = f'(l0).

Pour une valeur quelconque l de la variable

dT = f'(l) dl

ce qu'on écrit aussi:

f'(l) = dT/dl .

Posté par
marvin45
re : Différence entre une différentiel et une dérivée. 30-01-14 à 21:17

u*v c'était pour calculer la dérivé de T mais ils ont demander une différentiel et non une dérivé donc mon "u*v" ne sert a rien.

Posté par
boninmi
re : Différence entre une différentiel et une dérivée. 31-01-14 à 10:44

Il ne sert à rien parce que dans ce cas cette formule est inutile.
Mais tu dois bien calculer la dérivée par rapport à l (seule variable) pour calculer la différentielle en appliquant:

dT = f'(l) dl

Ici, c'est la formule de dérivation de u qui est utile.

Posté par
alban
re : Différence entre une différentiel et une dérivée. 31-01-14 à 11:56

Réponse de physicien : si un fonction dépend de plusieurs variables, et qu'elle est assez régulière, elle n'a qu'une différentielle, pas de dérivée.
Les dérivées ne concernent que les fonctions d'une seule variable.

Dans le cas de la période d'un pendule, c'est un peu bête de parler de différentielle, puisqu'elle ne dépend que d'un seul paramètre, qu'on va appeler variable, sur lequel on peut jouer...

T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}

... on peut modifier la longueur l, mais pas trop \pi, ni g dans les conditions habituelles.

Maintenant, si l'exercice consiste à comparer les périodes sur Terre et sur la Lune, alors oui, g devient un paramètre, ou une variable, et T devient une fonction des deux variables l et g. On peut alors calculer sa différentielle :

dT = \frac{\partial T}{\partial l}dl + \frac{\partial T}{\partial g}dg.

Posté par
PIL
re : Différence entre une différentiel et une dérivée. 01-02-14 à 00:45

Bonsoir,

J'ajoute mon grain de sel !    T = f(l) = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}   (T en secondes, l en mètres)

La dérivée de T en lo,  f'(lo),  mesure le taux de variation de T par rapport à l, calculé en l = lo.  Unité :  secondes par mètres.

La différentielle de T en lo,  dT = f'(lo)dl,  donne (une approximation de) la variation de T lorsque l varie de dl à partir de lo.   Unité : secondes

Posté par
carpediem
re : Différence entre une différentiel et une dérivée. 01-02-14 à 10:26

salut

j'ajoute mon grain de poivre (à vos souhaits )

une dérivée est une différentielle totale ...

dT = \dfrac {\partial T}{\partial 2}d2 + \dfrac {\partial T}{\partial \pi}d\pi + \dfrac{\partial T}{\partial g}dg + \dfrac{\partial T}{\partial l}dl

les trois premières différentielles partielles étant nulles on en déduit que \dfrac {dT}{dl} = \dfrac {\partial T}{\partial l}  ( = f')

Posté par
PIL
re : Différence entre une différentiel et une dérivée. 01-02-14 à 13:02

Salut carpediem,

" une dérivée est une différentielle ", c'est vrai que j'ai éternué !  

Tu ne voulais pas plutôt dire "une dérivée est un quotient de différentielles" ?

Posté par
carpediem
re : Différence entre une différentiel et une dérivée. 01-02-14 à 13:21

parce qu'on est dans un corps ... donc on peut diviser ....

quand on raisonne en terme d'espace vectoriel

dT = Ldx

et dans R f' = dT/dx = T/x n'est qu'une notaion ...



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