Niveau Maths sup

Differenciation des solutions trigonometriques

Posté par
AnaxagoreV 04-09-10 à 15:21

Bonjour à tous !

Tout d'abord je tiens à dire que je suis nouveau sur le forum et que j'en remercie donc d'autant plus ceux qui prendront le temps de me répondre.

Ma question n'est pas bien difficile, je pense, mais elle est assez gênante et ça fait un moment que je me la pose.

Voilà quand on résout une equation, par exemple cosx + sinx = 1, absolument basique, on est souvent tenté de passer au carré, et on obtient cos²x + sin2x + sin²x = 1 c'est à dire sin2x = 1. Cependant je me rend compte qu'en agissant ainsi, je prend aussi les solutions de l'equations cosx + sinx = -1, ce qui est totalement différent ! Je me suis rendu compte que dans beaucoup d'autres equations comme sinx + cos2x/2cosx = 0 j'avais fait la même erreur.

C'est généralisable à d'autre cas et je ne m'étais pas rendu compte qu'en passant au carré, je rajoutais des solutions qui ne répondaient pas à l'équation initiale.

Existe t-il un moyen pour selectionner, dans les solutions finales, celles qui sont "bonnes", c'est à dire qui répondent à l'equation initiale, ou dois-je nécessairement trouver un autre moyen ?

Merci beaucoup ! Aurevoir

Posté par re : Differenciation des solutions trigonometriques 04-09-10 à 15:32

Bonjour et Bienvenue sur l'

C'est fréquent d'introduire des "fausses" solutions au cours de la résolution d'une équation ou d'un système... On peut garder trace dans les calculs, mais c'est risqué... le mieux, si ce n'est pas trop compliqué, c'est de vérifier à la fin que ce que l'on a trouvé est BIEN solution.

Dans ton exemple tu pourrais écrire

$\cos(x)+\sin(x)=1\Longleftrightarrow \{\cos(x)+\sin(x))^2=1\\ \cos(x)+\sin(x) >0$

mais on perd vite des bouts!

Posté par re : Differenciation des solutions trigonometriques 04-09-10 à 15:37

Du coup à la fin, j'élimine les solutions qui ne répondent pas à la condition que sous-tendait la première, c'est à dire cosx + sinx > 0 ?

En gros à chaque fois que je rajoute des solutions, je dois rajouter une contrainte à mon système pour les éliminer ? C'est intelligent mais un petit peu fastidieux et dangereux !! J'ésperais qu'il y avait un outil que je ne connaissais pas encore, genre rasoir d'ockham, qui te pointe directe les bonnes solutions !

Merci beaucoup de ton temps et de tes explications claires ! Je vais mettre tout ça en oeuvre.

Posté par re : Differenciation des solutions trigonometriques 04-09-10 à 15:47

Je suis désolé je fais remonter le post mais il y a encore quelque chose qui me gêne !

Quand on écrit cosx + sinx > 0, on écrit que la somme doit être positive, et non qu'elle doit être différente de -1. La seconde contrainte est comprise dans la première, mais dans d'autre cas, en imposant une contrainte plus large que celle qui est nécessaire à la resolution, ne risquons nous pas d'eliminer des solutions qui pourraient être bonnes ?

Merci beaucoup

Posté par re : Differenciation des solutions trigonometriques 04-09-10 à 15:49

Eh non... il n'y a pas de miracle... Il faut faire attention!

Posté par re : Differenciation des solutions trigonometriques 04-09-10 à 15:52

On s'est croisés... Dans ce cas j'ai utilisé simplement $x=1\Longleftrightarrow x^2=1\ et\ x > 0$ (mais je ne le ferais pas dans un devoir, par exemple). Bien sur il faut choisir dans chaque cas correctement. Les problèmes de domaine de définition, sont aussi piégeants.

Par exemple $\frac{x^2-1}{x-1}=0$ a pour seule solution -1 (et non 1)