Niveau Maths sup

Différentiabilité

Posté par
lolo5959 02-02-05 à 16:26

Bonjour à tous,

Je cherche depuis pas mal de temps à démontrer des propriétés du cours sur la différentiabilité de fonctions et je suis bloqué sur 2 d'entre-elles:

Soient f et g 2 fonctions différentiables.

Montrer que f*g et f/g sont différentiables et que

d(fg)(x,y)=g(x,y)df(x,y)+f(x,y)dg(x,y)
et
d(f/g)(x,y)=g(x,y)^-2df(x,y)+(f/g)dg(x,y)

Si quelqu'un pouvait m'aider à le démontrer,cela m'aiderait pas mal( J'ai cherché sur Internet mais je n'ai pas trouvé ces démonstrations)

Merci beaucoup pour votre aide

Posté par titimarion (invité)re : Différentiabilité 02-02-05 à 18:42

Je n'ai pas vraiment le temps maintenant, j'essaierai de repasser plus tard cependant il me semble qu'il y a une erreur pour
$d(\frac{f}{g})(x,y)=\frac{1}{g(x,y)}df(x,y)-\frac{f(x,y)}{g(x,y)^2}dg(x,y)$
mais je ne suis pas sur je verrai cela plus tard .
antoine

Posté par re : Différentiabilité 02-02-05 à 19:41

Bonsoir titimarion et merci de vous intéresser à mon sujet.

Il me semblait aussi qu'il y avait une erreur dans l'énoncé de la 2ème différentielle, mais comme c'était dans mon cours et donné par le prof lui-même, je pensais que c'était moi qui n'allait pas bien...

Pour être plus précis dans ma question, ce qui me dérange lors de mon calcul(pour diff de f*g),c'est que j'obtiens un terme qui est: (en posant a=(x,y) )

df(a)*dg(a), or, df(a) et dg(a) sont deux matrices à 1 ligne et 1 colonne et leur produit n'est donc pas possible, et c'est comme ça que je tourne en rond....

Désolé pour les formules en l'état "brut" mais je ne m'en suis pas sorti avec le Latex...)
Encore merci pour votre aide

Posté par titimarion (invité)re : Différentiabilité 02-02-05 à 22:27

Re,
Je vais essayer de te faire la première partie tout du moins.
Normalement on peut partir sur le fait de démontrer le résultat sur une application bilinéaire.
Soit $B:E_1\times E_1 \rightarrow\;F$ une application bilinéaire.
$a=(a_1,a_2)\in E_1 \times E_2$ $v=(v_1,v_2)\in E_1 \times E_2$
On a $(D_aB)(v)=B(a_1,v_2)+B(v_1,a_2)$
Cela se montre par bilinéarité,
$B(x_1,x_2)-B(a_1,a_2)=B(x_1-a_1,a_2)+B(a_1,x_2-a_2)+B(x_1-a_1,x_2-a_2)$
On a $B(x_1-a_1,a_2)+B(a_1,x_2-a_2)$ qui est linéaire en $(x_1-a_1,x_2-a_2)$
Et par bilinéarité $||B(x_1-a_1,x_2-a_2)||_F\le C ||x_1-a_1||_{E_1} ||x_2-a_2||_{E_2}\le C||x-a||^2$
En prenant $||x||=sup(||x_1||_{E_1},||x_2||_{E_2})$
Donc on a bien un petit o de $||x-a||$ ce qui montre donc bien le résultat escompté par unicité de la différentielle.
Je poste déjà cela et je passe à la suite dans un autre message.

Posté par titimarion (invité)re : Différentiabilité 02-02-05 à 22:38

Donc ensuite on prend B une application bilinéaire comme précédemment.
et deux applications $H_1:U\rightarrow\; E_1$ et $H_2:U\rightarrow\;E_2$ et U inclus dans $E=E_1\times E_2$
Tu as le résultat suivant $D_a(KoH)=D_{H(a)}KoD_aH$
ainsi si on pose $A=B(H_1,H_2)$ on obtient.
$D_aA(v)=B(H_1(a),D_aH_2(v))+B(D_aH_1(v),H_2(a))$
Et ensuite pour conclure sur ton problème il suffit de dire que si $E_1=E_2=\mathbb R$ alors l'application $(x,y)\in{\mathbb R^2} \rightarrow xy$ est bien une application bilinéaire.

Posté par titimarion (invité)re : Différentiabilité 02-02-05 à 22:47

Pour ce qui est du 2) si tu utilises le résultat que je t'ai donné et non celui du prof que je continue à trouver faux, en fait cela revient à trouver la différentielle de l'application inverseet trouver que
$D_a(\frac{1}{g})(v)=-\frac{1}{(g(a))^2}D_ag(v)$

Posté par titimarion (invité)re : Différentiabilité 02-02-05 à 23:01

La tu peux utiliser le fait que si $H:u\in GL(E)\rightarrow\;u^{-1} \in GL(E)$
$D_aH(v)=-a^{-1}ovoa^{-1}$
Cela se voit en notant que
$u^{-1}-a^{-1}=u^{-1}o(Id-uoa^{-1})=u^{-1}o(a-u)oa^{-1}=(u^{-1}-a^{-1})o(a-u)oa^{-1}+a^{-1}o(a-u)oa^{-1}$ la deuxième partie est bien linéaire en u-a.
Il nous faut donc montrer que
$I=(u^{-1}o(a-u)oa^{-1}=\theta (||u-a||)$
Or H est continue donc $\forall\;\epsilon\,>0,\exists \delta\, >0 / \quad ||u-a||<\delta \Rightarrow\;||u^{-1}-a^{-1}||<\frac{\epsilon}{||a^{-1}||}$
Donc $||I||<\epsilon ||a-u||$
ce qui montree bien le résultat.
Ensuite enutilisant la compositon de g et de H tu obtiens le résultat final.
Cependant il y a peut être plus simple comme démo si tu ne travailles que dans $\mathbb R$ mais comme je ne savais pas sur quoi tu travaillais je n'ai pas cherché à simplifier, j'ai fait une démo valable sur des espaces vectoriels de dimension fini.
Si tu veux des précisions n'hésite pas, le seul truc c que je ne viens pas forcément tous les jours voir, mais je rechercherai ton post pour répondre à tes questions.

Posté par re : Différentiabilité 02-02-05 à 23:17

Vraiment, un très grand MERCI titimarion !!

Je vais imprimer tout cela et regarder à tête reposée demain car pour ce soir, je suis saturé de maths....

Encore merci et bonne(fin) de soirée

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