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différentiabilité
Bonjour, je souhaiterais votre aide pour un exercice d'analyse sur la différentiabilité. L'énoncé est le suivant:
1) Soit f une application de Rn à valeurs dans Rm. Montrer que f est différentiable sur Rn et que quelque soit X=(x1, x2,...,xn) appartenant à Rn, Df(X)=f
2) Soit g une application de Rn dans Rn * Rn définie par quelque soit X=x1,x2,...xn appartenant à Rn, g(X)=(X,2X). Déduire de la première question que g est différentiable et déterminer sa différentielle en tout point X appartenant à Rn.
3) Soit f une application de Rn à valeurs dans R telle que: quelque soit X=(x1,x2,...,xn) appartenant à Rn, quelque soit t appartenant à R f(tX)=tf(X).
Montrer que f est linéaire.
Merci d'avance car je bloque dès la première question bien que la deuxième j'ai une idée de comment la traiter.
Bonsoir bsolene7
pour la 1), je pense d'après les conlusions que tu as oublié le fait que f était linéaire, non ?
Dans ce cas, on a pour tout X et pour tout H de 
n, f(X+H)=f(X)+f(H)=f(X)+L(H)+o(||H||) où L=f est une application linéaire.
on en déduit que f est différentiable en tout point et Df(X)=f.
2) g est clairement linéaire, donc d'après ce qui précède, g est différentiable en tout X et pour tout X, Dg(X)=g.
3)Ici, on ne suppose rien sur f (continue par exemple) ?
Kaiser
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