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Différentiabilité

Posté par
Thomasdxb 05-09-22 à 05:33

Bonjour,

Le but est d'étudier la différentiabilité de la fonction f définie sur\mathbb{R}^2 par f(x,y)=x^2 si x<y et f(x,y)=y^2 si x\ge y.

Dans un premier temps, on demande d'étudier la différentiabilité de la fonction f sur \{(x,x),x\in \matbbh{R}\} privé de \{(0,0)\}, le tout en utilisant un argument sur les dérivées partielles.

Ma question est pourquoi considérer cet ensemble ? Je ne vois pas de problème en (0,0). Me trompè-je ?

Merci !

Posté par
carpediemre : Différentiabilité 05-09-22 à 08:48

salut

ben tu vois bien que cet ensemble partitionne l'espace donnant la définition de f : la frontière entre les demi-plans {x> y} et {x < y} est la droite D d'équation x = y donc l'ensemble donné ...

dans tous les cas tu peux calculer les dérivées partielles et voir ce qui se passe ...

Posté par
ty59847re : Différentiabilité 05-09-22 à 09:07

D'après toi, sans faire de calcul, la fonction est différenciable ou pas ?
Est-ce que tu arrives à 'visualiser' cette fonction ?

Posté par
Thomasdxbre : Différentiabilité 08-09-22 à 15:44

Bonjour carpediem, bonjour ty,

Navré pour ma réponse plus que tardive.

J'y réfléchis.

Posté par
Thomasdxbre : Différentiabilité 09-09-22 à 04:06

Rebonjour,

Je vois ce qui se passe grâce à geoegbra, mais je ne sais pas conjecturer quant à la différentiabilité.

J'ai compris cette histoire de domaine cependant.

J'ai calculé les dérivées partielles.
Pour x<y, \frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=2x et \frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=0.
Pour x\ge y,  \frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=0 et \frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=2y.

Ainsi, pour x=y avec (x,y)\neq (0,0), on se trouve dans la deuxième situation et donc :

\frac{\partial f}{\partial x}(x,x)=0 et \frac{\partial f}{\partial y}(x,x)=2x.

Il reste donc à calculer \frac{\partial f}{\partial x}(x,x) et \frac{\partial f}{\partial y}(x,x) en revenant à la définition pour vérifier que lim_{(x,y)\to (x,x)} \frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=0 et lim_{(x,y)\to (x,x)} \frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=2y.

Est-ce que mon raisonnement est correct ?

Merci pour votre aide.

Posté par
Thomasdxbre : Différentiabilité 09-09-22 à 05:17

Ou alors, puisque d'une part \lim_{(x,y)\to (x,x)}\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=2x et d'autre part \lim_{(x,y)\to (x,x)}\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=0, alors la dérivée partielle en x n'est pas continue, et donc f n'est pas différentiable en (x,x).

Qu'en pensez-vous ?

Posté par
carpediemre : Différentiabilité 09-09-22 à 09:27

ben ça me semble correct ...


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