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Niveau Licence Maths 1e ann
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Différentiabilité d'une application matricielle

Posté par
Jau
03-10-11 à 17:29

Bonjour !

Nous commençons le cours sur la différentiabilité et je suis tombé sur l'exercice suivant :

Il s'agit de montrer que l'application T de (M_n(\mathbb{R}))^2 dans M_n(\mathbb{R}) définie par T((A,B)) = AB est différentiable.

J'aurais tendance à dire que les dérivées partielles existent et sont continues : celle par rapport à A associerait B à (A,B) et celle par rapport à B associerait A à (A,B). Mais ça me paraît suffisamment simple et direct pour penser que c'est une jolie connerie. Verdict ?

Et puis il est également demandé de déterminer la différentielle de T en (A,B).
Ici, ce serait l'application qui à (H,K) couple de matrice associe HB+KA ?

Posté par
Narhm
re : Différentiabilité d'une application matricielle 03-10-11 à 18:41

Bonjour,

Oui effectivement tu peux procéder ainsi mais tu utilises des arguments assez fort de calcul différentiel. En plus tu apportes une conclusion plus forte : T est de classe C1.
Mais il n'y a pas de problèmes, tant que tu sais calculer ces dérivées partielles et montrer qu'elles sont continues.

Sinon, il est tout aussi simple de regarder l'application T(A+H,B+K)-T(A,B) pour montrer que T est différentiable.
D'ailleurs, la différentielle que tu annonces n'est pas tout à fait correcte.

Posté par
Jau
re : Différentiabilité d'une application matricielle 06-10-11 à 07:34

Si T est différentiable on a :
T((A+H,B+K)) = T((A,B)) + D(A,B)(T).(H,K) + o((H,K))
Donc T((A+H,B+K)) - T((A,B)) = D(A,B)(T).(H,K) + o((H,K))
AK + BH + HK = D(A,B)(T).(H,K) + o((H,K))
Mais HK est le o((H,K)) non ? Faut-il le montrer en regardant la limite du quotient de HK sur la norme de (H,K) ? Sachant qu'on travaille avec des matrices...
Du coup la différentielle en (A,B) serait bien l'application qui à (H,K) associe AK+BH ?

Posté par
jeanseb
re : Différentiabilité d'une application matricielle 06-10-11 à 10:32

Bonjour

Garde l'ordre dans les produits:

la différentielle en (A,B) serait bien l'application qui à (H,K) associe AK+HB

Posté par
Jau
re : Différentiabilité d'une application matricielle 06-10-11 à 16:14

Ah oui ! Pas commutatif, donc c'est bien AK + HB.
Et il faut effectivement montrer que HK est un "petit o" de (H,K).
On munit Mn(R) de la norme infinie (toutes les normes sont équivalentes puisqu'on est en dimension finie).
La norme de (H,K) correspond au maximum de ||H|| et ||K||.
La norme de HK est majorée par n.||H||.||K||
Donc c'est gagné.

Merci pour votre aide !



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