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differentiabilite et continuité

Posté par
toureissa 14-09-20 à 00:04

Bonjour,

J'aimerais  que vous m'aidez a montrer que toute application  de U (ouvert) dans F  differentiable en a , est continue en a.

Je me donne  une application f. supp f differentiable en a alors il existe L application linéaire de U dans F telle que
f(x+a)=f(a)+L(x) + ||x||e(x) avec e(x) -->0 lorsque ||x|| -->0.

Montrons que f est continue en a.

Soit ę>0.
f(x)-f(a)=L(x-a)+||x-a||e(x-a)

Je n'arrive pas à trouver le d associé a ę.

Posté par
mousse42re : differentiabilite et continuité 14-09-20 à 00:56

Bonsoir

Je te fais une proposition à prendre avec des pincettes, c'est encore tout frais.

On veut montrer que (\forall\varepsilon>0)(\exists \eta >0)(\forall x\in U )(||x-a||_1\le\eta \implies ||f(x)-f(a)||_2<\varepsilon) \\

Soit \varepsilon>0 et on pose x=a+h

Puisque l'on a ||f(a+h)-f(a)||_2=||L(h)+o(||h||)||_2, et que ||L(h)+o(||h||)||_2=o(1) :
il existe \eta>0 tel que ||h||_1<\eta \implies ||L(h)+o(||h||)||_2<\varepsilon,

donc ||x-a||_1<\eta \implies ||L(x-a)+o(||x-a||)||_2=||f(x)-f(a)||_2<\varepsilon

Posté par
mousse42re : differentiabilite et continuité 14-09-20 à 01:16

on peut encore être plus concis

Puisque L(h)=o(1) et que \varphi\in o(||h||)\implies \varphi\in o(1), on déduit que ||f(a+h)-f(a)||_2=o(1) donc ||f(x)-f(a)||_2=o_{x\to a}(1) d'où la continuité de f en a

Posté par
toureissare : differentiabilite et continuité 14-09-20 à 07:32

Bonjour ,

J'ai bien compris. Puis-je ajouter cette question : pourquoi on dit que la différenciabilite et la différentielle de f dépend des normes choisis?

Posté par
Foxdevilre : differentiabilite et continuité 14-09-20 à 10:21

Bonjour,

toureissa @ 14-09-2020 à 07:32

Bonjour ,

J'ai bien compris. Puis-je ajouter cette question : pourquoi on dit que la différenciabilite et la différentielle de f dépend des normes choisis?
Si tu pretes attention, tu as des normes un peu partout dans ta définition. Du coup une quantité qui est un petit o pour une norme peut très bien ne pas l'être pour une autre...

Posté par
toureissare : differentiabilite et continuité 14-09-20 à 11:06

Merci je le vois maintenant.  Et quand ce pas la même norme le L peut changer et aussi quand les normes sont équivalentes on a les mêmes L.
Merci a vous et bonne journée !


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