- une fonction peut avoir des dérivées partielles en un point mais ne pas être continue en ce point. Or une fonction différentiable en un point est toujours continue en ce point. Donc il y a des fonctions qui admettent des dérivées partielles sans être différentiables.

- oui, le développement limité à l'ordre 1 est la DEFINITION de la différentielle ! Il s'agit de l'application linéaire qui constitue la meilleure approximation de f. En particulier on peut la représenter sous forme de matrice dans une base adaptée, pourvu que l'espace soit de dimension finie.

- on peut définir un jacobien dès que f admet des dérivées partielles. Même pas besoin d'être différentiable. Mais ca n'est pas très intéressant.

- Bon il y a confusion. Une matrice C'EST une application linéaire. Et dans un ev de dimension finie, c'est toujours continu. Par contre, ce qui change, c'est la relation entre cette matrice jacobienne et la fonction de départ. La fonction est différentiable ssi cette application linéaire définie par la matrice est tangente (ie. il y a un DL à l'ordre 1) à f.

bon je pense avoir compris. en gros il y a deux cas de figures

*la fonctions admet des dérivées partielles continues en un point,
,différentiable(= dvp limité à l'ordre1 en utilisant le jacobien ) et continue en ce point

*la fonction admet des dérivées partielles non continues
  *son jacobien définit un dl ordre1,donc elle est différentiable,donc continue
  *son jacobien ne définit pas un dl orde1 (pas de tangence avec f), pas différentiable. quid de la continuité de f?


et quand on dit continument différentiable cela signifie être différentiable sur tout l'ensemble de définition.

en gros une fonction de classe c1(dérivées partielles définies et continues partout) est continument différentiable.. et pour une fonction admettant des dérivées partielles non continues en vérifiant qu'à un point quelconque a de l'espace de définition l'ampli linéaire engendré par le jacobien est tangent à la fonction en ce point ,cela dit donc donc que c'est vrai partout et que c'est continument différentiable? car on ne va pas pouvoir tester tous les point un par un..