Niveau LicenceMaths 2e/3e a

Différentiabilité norme

Posté par
bouri 18-05-24 à 15:20

Bonjour à tous,

Quelques questions pour l'étude la différentiabilité de la norme infinie sur ⁿ :
1) Si on suppose que la norme infinie est atteinte en 2 coordonnées,
Par exemple $\Vert x \Vert = \vert x_k \vert = x_i$ alors $\dfrac{\Vert x +he_i \Vert - \Vert x \vert}{h}$ =1 si $h>0$ et 0 sinon donc pas de limite quand h converge vers 0,

Si $\Vert x \Vert = \vert x_k \vert = -x_i$ alors $\dfrac{\Vert x +he_i \Vert - \Vert x \vert}{h}$ =1 si $h<0$ et 0 sinon donc pas de limite quand h converge vers 0,
La norme n'admet pas de dérivée par rapport à sa i-ème variable au point x donc n'est pas différentiable

Est-ce correct ?

2) Si la norme infinie n'est atteinte qu'en une coordonnée $x_k$ , quelle condition sur h pour que $\Vert x +h \Vert = x_k+h_k$ ?

Merci d'avance

Posté par re : Différentiabilité norme 18-05-24 à 17:17

salut

il faudrait d'abord nous donner l'énoncé et les questions pour qu'on comprenne ce que tu réponds ...

Posté par re : Différentiabilité norme 18-05-24 à 18:22

Bonjour,

Je cherche à montrer que la norme infinie n'est différentiable qu'aux points où la norme infinie n'est atteinte qu'en une seule coordonnée

Au point 1, je pense avoir démontré qu'elle n'est pas différentiable aux points où la norme infinie est atteinte en 2 coordonnées, pouvez-vous me confirmer ?

Pour le point 2, j'ai l'impression qu'au voisinage de 0, on a l'égalité $\Vert x + h \Vert = x_k+h_k$ au signe près ? Mais je n'arrive pas à trouver à quelle condition sur h exactement

Merci d'avance

Posté par re : Différentiabilité norme 18-05-24 à 18:59

il est aisé de poser $x = (x_1, x_2, x_3, ..., x_n)$ et à permutation près on peut toujours poser $||x||_\infty} = |x_1|$

alors $x + he_1 = (x_1 + h, x_2, ..., x_n)$

maintenant on distingue deux cas :

$\forall k \ge 2 : |x_k| < x_1$

$|x_2| = |x_1|$ (toujours à permutation près)

2/ se rappeler que $||\vec u + \vec v || = ||\vec u|| + || \vec v|| \iff$ u et v sont colinéaires et de même sens

Posté par re : Différentiabilité norme 18-05-24 à 20:06

D'accord, je n'avais pas fait à permutation près mais mon 1) correspond au cas $\vert x_2 \vert = \vert x_1 \vert$

Pour la suite, il faut se ramener à $\Vert x + h \Vert = \vert x_k +h_k \vert$ puis ensuite utiliser le cas d'égalité de l'inégalité triangulaire de la valeur absolue ? Mais il faut que ce soit vraie pour tout h au voisinage de 0 donc on ne peut pas le faire seulement pour h et x colinéaires...
Ou peut-être que mon égalité proposée n'est pas vraie ?
Dans ce cas, comment démontrer que la norme infinie est bien différentiable en ces points ?

Posté par re : Différentiabilité norme 18-05-24 à 21:32

Je trouve que tu sautes un peu vite à la question 2. Les arguments que tu avances pour justifier la non-différentiabilité me semblent un peu farfelus

A mon avis, il est plus habile de raisonner ainsi
Soit x un point tel que $\lVert x \lVert_\infty = |x_1| = |x_2|$ .
La fonction $u: t\mapsto \lVert(t, x_2, x_3, \ldots,x_n)\rVert_\infty$ coincide par définition sur $\R$ tout entier avec la fonction $t\mapsto\max(|x_2|, t)$ et cette dernière n'est pas dérivable. La norme ne peut pas être différentiable au point x, parce que si c'était vrai, $u = \lVert\cdot\rVert_\infty \circ (\cdot, x_2, x_3, \ldots, x_n)$ serait en particulier différentiable en $x_1$ .

Le même genre d'argument montre que la norme est différentiable en tout point x tel que $\lVert x \lVert_\infty = |x_1| > \sup\limits_{j > 1} |x_j|$ . Dans ce cas là, la fonction $u$ qui nous intéresse coincidera avec la valeur absolue dans (la projection d') un ouvert U contenant x...

Posté par re : Différentiabilité norme 19-05-24 à 12:00

Merci pour la réponse !

Je crois que justement j'ai du mal à montrer si la fonction u est dérivable ou non en x
C'est ce que j'essayais de faire au 1)
si $x_1 >0$ alors $\dfrac{u(x+t) -u(x)}{t} = \dfrac{x_1+t-x_1}{t}$ si t>0 et 0 sinon
Donc le taux d'accroissement n'admet pas de limite
Ainsi u non dérivable
(Puis autre cas si $x_1 <0$ )

Pour le 2) la valeur absolue est dérivable dans la projection d'un ouvert ?

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