Pour la 13:
Si f est différentiable en a alors
f(a+h)= ????

euh
f(a+h) = f(a) + Du + ||u|| epsilon(u) avec D la différentielle de f en a

euh h = u

Ok, et si tu fais tendre h vers 0 tu trouves quoi?

f(a) --> f(a)

Essaie encore.

ben ...
si h tend vers 0, D.h ca tend vers 0 ... non ?
et si h tend rves0 epsilon(h) aussi ...
dc on a bien f(a+u) --> f(a) qd u tend vers 0 ...
ou est le pb ?

pour la 13, c'est dans le poly (p113) mais y'a pas de démonstration
pour la 15, j'ai mis non et j'ai donné un contre-ex si tu prends f(x,y)=x+y tu as d²f(x,y)=0 or f(x,y)cte

oki merci titi91

pour la 14/ j'ai fait un truc c'est un peu bizare comme truc mais je pense que c'est bon :
la différentielle est nulle en tous points, on a donc :
Jac_f=
0 0
. .
. .
. .
0 0
(2 colonnes et n lignes)
donc
f/x = 0
=> f(x,y)=(k₁+k'₁y,k₂+k'₂y,...,k_n+k'_ny)

f/y = 0
=> f(x,y)=(l₁x+l'₁,l₂x+l'₂,...,l_nx+l'_n)
les k et l étant des ctes

on a donc le système suivant :
k₁+k'₁y=l₁x+l'₁
.
.
.
k_n+k'_ny=l_nx+l'_n

ax+by+c=a'x+b'y+c' <=> a=a' et b=b' et c=c'
on a donc
k₁=l'₁
k'₁=l₁=0
.
.
.
k_n=l'_n
k'_n=l_n=0

d'où f(x,y)=(k₁,k₂,...,k_n)
donc f est cte

dc on a bien f(a+u) --> f(a) qd u tend vers 0 ...
ou est le pb ?
Là y'a pas de problème, c'est la définition de la continuité d'une fonction de variable réelle en a.

pour la 15, j'ai mis non et j'ai donné un contre-ex si tu prends f(x,y)=x+y tu as d²f(x,y)=0 or f(x,y)cte
Mais là tu ne calcules pas la différentielle de f, si?

titi91, à quel moment te sers tu de la convexité (connexité) dans ta démo du 14?

otto --> oki pour la 13, merci bcp!!

pour la 14, c bien un raisonnement par l'absurde que tu as fait ?

Non pour la 14 j'ai pris deux points quelconques et j'ai montré que f évalué en ces points sont égaux. Ce qui prouve que f est constante.

Pour la numéro 5, tu as f qui est un polynôme.
Un développement limité d'ordre n est un polynôme p tel que
|f-p|=o(x^n)

Il est clair que 0=o(x^n)
Notamment, f est son propre développement limité d'ordre 2 puisque c'est déjà un polynôme d'ordre 2 vérifiant ceci.

Si maintenant je pose mettons
f(x,y)=x²+y+xy+y^3
Si je cherche le développement limité de f en 0 d'ordre n, je garde tous les termes de f qui sont de degré n ou moins.

Mettons le dl en 0 d'ordre 1 c'est
p1(x,y)=y
celui d'ordre 2
p2(x,y)=y+x²+xy
celui d'ordre 3 et plus
pn>3(x,y)=f(x,y)

C'est pour cà qu'ici il suffisait juste de réfléchir sur f sans faire aucun calcul.
Ca arrive souvent ce genre de questions, un peu comme les intégrales sur un intervalle d'amplitude 2Pi de
sin(nx)cos(px) etc
Il ne faut pas se précipiter dans les calculs, il faut d'abord bien regarder f et bien connaître les hypothèses et conclusions des propositions et théorèmes.
A+

Pour la 16, c'est pas très compliqué:
Tu as
s(x)=somme des nexp(inx) n>0
Tu peux directement calculer cette somme qui vaut
f(x)=exp(ix)/(exp(ix)-1)²
Le problème c'est que s ne converge jamais vers f puisque si je pose
S(X)=somme des nX^n alors cette somme vaut
X/(X-1)² pour |X|<1 et diverge autrement
Ici s(x)=S(exp(Inx)) et |exp(Inx)|=1


Autre chose, si s est la série de Fourier d'une fonction continue f, alors pour tout x, sn(x)->f(x) (ie sn converge simplement vers f sur R).
Notamment
s(0)=somme des n qui diverge


Une dernière possibilité, si ca a été vu en cours, si cn est une suite de coefficients de Fourier, cn->0
A+

otto, tu écris :
Pour la 16, c'est pas très compliqué:
Tu as
s(x)=somme des nexp(inx) n>0
Tu peux directement calculer cette somme qui vaut
f(x)=exp(ix)/(exp(ix)-1)²


je ne comprend pas comment tu trouves f(x) ...

dans le cours nous avons que lim c_n = 0 si f est bornée ...

je ne comprend pas non plus pk tu ecrit que |exp(inx)|=1

hum en fait ca y est g compris

par contre je ne me souviens plus comment on trouve que somme nx^n = x/(x-1)² :s

sinon est ce que ma question 17 était bonne ?

"pour la 17 je trouve que S(x) = 1
donc reponse oui"

et personne n'a d'idée pour la 6 et 7 ? j'arrive vraiment pas  à m'en depatouiller!

Pour trouver s(x) tu as juste à remarquer que si tu divises par X et que tu intègres, tu tombes sur une série géométrique.

Pour la 17 ca dépend ce qu'on entend par fonction T périodique.
Si on appelle une fonction T périodique une fonction dont la plus petite période est T, alors c'est non, sinon si c'est une fonction dont une période est T c'est juste.
C'est plus une question de vocabulaire, mais pour ma part j'accepterai ta réponse.

dans notre cours T n'est pas défini comme etant la plus petite periode, c defini ainsi :

T € R tq f(x+T)=f(x)


sinon g qq qestion en plus de titi91 :

1)soit B = ]0,1[x]0,1[ C R²
soit f la fct° definie par f(x,y) = y^4x^4
a-t-on f(x,y) 4(2(x²+y²)) ?

2)soit f une fct° de R² ds R^p de classe C1 dont la diffrentielle est nulle en ts points, est-elle linéaire ?

3) la suite {c_n}_n€N definie par cn = 1 /n est-elle la suite de coeff de fourier d'une fct° continue periodique ?

4) oit f: R --> R un fct° continue 1-périodique avec toutes les coeff de fourier nuls. est-elles une fct° nulles ?

Pour la 1 il faudrait étudier un peu la fonction.

Pour la 2, je suis pas sur de bien saisir, mais f=1 est bien une telle fonction et n'est pas linéaire.

Pour la 3, supposes le résultat et pose s(x) la somme.
Que vaut s(0)?

Pour la 4, je crois que tu as unicité des séries de Fourier.

pour la 1) k'apelle tu étudier la fct° ?

chercher la matrice hessienne et trouver les pts critik ?

pour la 4) je ne compren pas e ke tu entend par unicité des séries de fourier ..

sinon pour la 15 comment pourrais je trouver un contre exemple ?


---------
vraiment personne pour les 6 et 7 ?

pour la 14/ je n'ai pas utilisé la connexité je t'avoue que je ne sais même pas ce que c'est
mauricette, non je n'ai pas fait de raisonnement par l'absurde je suis parti de l'hypothèse cad que la différentielle est nulle

pour la 6 et la 7 je n'y arrive pas non plus !!!

Mauricette, pour la 17, comment trouves-tu que S(x)=1 ???

dans le cours (que pt tu n'a pas :S) on a
S(f)(x) = somme des c_n(f)* exp(inx)

tu sais que tout les c_n sont nuls sauf c_0 qui vaut 1 ... et exp(0) = 1 ...
donc ....

ok merci beaucoup

et en quoi le fait que S(x)=1 fait que la suite cn est la suite de coefficients de Fourier d'une fonction continue T-périodique ???

ben comme te la écrit otto ds le premier post tu as :

"toute fonction f suffisament propre (mesurable) admet une série de Fourier , et cette série converge vers elle sous certaines hypothèses:
une hypothèse simple est que la fonction est C1 par morceaux et que les dérivées à gauche et à droite existent partout.
Dans ce cas la série de fourier
S(x)= somme des cn*exp(inx) converge vers f pour n dans Z."

pas tout compris mais en résumé si la some est fini als c'est une suite de fourier c'est ça??

au fait mauricette, je ne sais pas si tu as réussi la 19/ mais apparamment c'est exactement une démo de votre cours, et de la même façon tu peux faire la 18/

euh
ben en fait pr être plus explicite
tu peux utliser le th de dirichlet :

soit f une fcT° definie sur R, 2périodique, C1 par morceau sur [-,]. alors pour totu reel x_0 la serie de fourier de f converge et  



ici

tu peux trouver facilement une fct° C1 et 2périodique tq


je meplante pt completement ...
je ne sais pas
mais ca me semble correct

y aurai qqun pr ns dire si c bon ?

(ouip tinkiet pr la 18 et 19, j'ai fini par y arriver c juste que j'avais pas penser a tranformer mon exp en cos + i sin)

otto, pour la 2, je ne comprend pas, car c_0 n'est pas définie ...

pour la 6 et la 7 toujours personne ne veut nous aider??

svp aidez nous pour la 6 et la 7 c'est pour demain !!!