Bonjour ! Je suis sur une réflexion, et je me demande une chose, voici le concept :

Soit une fonction de classe de dans tel que pour tout et on a aussi

(Il s'agit des conditions d'un exercice mais ma question n'a rien avoir avec cet exercice, donc je me permets de ne pas l'écrire surtout qu'il fait une page entière…)

Ma question est la suivante : soit et dans relié par un chemin que l'on appellera H et tel que pour tout ,
Posons
Ainsi pour tout , .
Que peut-on dire de g ?

Mes idées :

Si H est une droite c'est à dire .
Alors

Car si l'on réécrit dans une base qui contient le vecteur alors on aurait que la matrice serait quand x est dans H, une colonne de zéros, et d'autres colonnes quelconques, mais ducoup de déterminant nulle donc pas inversible.
J'aimerai savoir déjà si ce raisonnement est correct.

Donc ça contredirait les hypothèses de l'énoncé.
Maintenant si H n'est pas une droite c'est la grosse question, est-ce qu'on peut faire un raisonnement similaire ? Quelque part si H c'est une succession de droite de vecteur directeurs différents pour aller de à on aurait le même problème ?

Mais ducoup si H est une courbe est-ce que quelque part c'est comme si H était une succession de droite mais de longueur tendant vers 0, donc on aurait comme vecteur directeur une tangente mais est-ce que dans ce cas de figure on peut considérer qu'en chaque point de H pareil si on réécrit dans une base avec le vecteur directeur de la tangente on aurait une matrice non inversible par le même raisonnement de colonne de zéros ?



Mon objectif est de virer cette possibilité d'avoir un chemin reliant et .


Merci pour votre temps