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Niveau LicenceMaths 2e/3e a
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Différentiel

Posté par
FerreSucre
10-04-24 à 11:24

Bonjour ! Je suis sur une réflexion, et je me demande une chose, voici le concept :

Soit f une fonction de classe C^2 de \R^n dans \R^n tel que df(x) \in Gl_n(\R) pour tout x \in R^n et on a aussi ||df(x)^{-1}|| \leq C, C \in \R

(Il s'agit des conditions d'un exercice mais ma question n'a rien avoir avec cet exercice, donc je me permets de ne pas l'écrire surtout qu'il fait une page entière…)

Ma question est la suivante : soit p_1 et p_2 dans \R^n relié par un chemin que l'on appellera H et tel que pour tout p \in H, f(p) = cst
Posons g(x) = f(x) - f(p_1)
Ainsi pour tout x \in H, g(x) = 0.
Que peut-on dire de g ?

Mes idées :

Si H est une droite c'est à dire H = \{(1-s)p_1 + sp_2, s \in [0:1]\}.
Alors \forall{x) \in H : dg(x) = df(x) \notin Gl_n(\R)

Car si l'on réécrit dg(x) dans une base qui contient le vecteur p_2-p_1 alors on aurait que la matrice serait quand x est dans H, une colonne de zéros, et d'autres colonnes quelconques, mais ducoup de déterminant nulle donc pas inversible.
J'aimerai savoir déjà si ce raisonnement est correct.

Donc ça contredirait les hypothèses de l'énoncé.
Maintenant si H n'est pas une droite c'est la grosse question, est-ce qu'on peut faire un raisonnement similaire ? Quelque part si H c'est une succession de droite de vecteur directeurs différents pour aller de p_1 à p_2 on aurait le même problème ?

Mais ducoup si H est une courbe est-ce que quelque part c'est comme si H était une succession de droite mais de longueur tendant vers 0, donc on aurait comme vecteur directeur une tangente mais est-ce que dans ce cas de figure on peut considérer qu'en chaque point de H pareil si on réécrit dans une base avec le vecteur directeur de la tangente on aurait une matrice non inversible par le même raisonnement de colonne de zéros ?



Mon objectif est de virer cette possibilité d'avoir un chemin reliant p_1 et p_2.


Merci pour votre temps

Posté par
carpediem
re : Différentiel 10-04-24 à 13:02

salut

FerreSucre @ 10-04-2024 à 11:24

Soit f une fonction de classe C^2 de \R^n dans \R^n tel que df(x) \in Gl_n(\R) pour tout x \in R^n et on a aussi ||df(x)^{-1}|| \leq C, C \in \R

Alors \forall{x) \in H : dg(x) = df(x) \notin Gl_n(\R)

me semble contradictoire ...

Posté par
FerreSucre
re : Différentiel 10-04-24 à 13:26

Bonjour oui, c'est contradictoire en effet je l'ai souligné mais pour les autres cas de figure, tu en penses quoi ? ^^

Posté par
FerreSucre
re : Différentiel 10-04-24 à 13:28

Je cherchais à savoir si le raisonnement était bon… je comprends pas votre remarque

Posté par
carpediem
re : Différentiel 10-04-24 à 13:51

je dirai simplement que ton chemin H est une (portion de la) ligne de niveau f(x) = k entre les points p_1 et p_2 tels que f(p_1) = f(p_2) = k

et que cette ligne de niveau soit une droite ou non il n'y a aucune raison que dg(x) = 0 pour x dans H ... surtout si l'énoncé dit le contraire ...

en supposant que h soit un paramétrage de H au moins C1 par morceaux alors (là où "ça va bien")

g(x) = f(x) - f(p) = g o h(t) = f o h(t) - f(p)  et dg(x) = h'(t) dg(h(t)) = h'(t) df(h(t))

Posté par
elhor_abdelali Correcteur
re : Différentiel 10-04-24 à 17:35

Attention ! avec l'hypothèse :

Citation :
f de classe C^1 de \R^n dans \R^n telle que df(x) \in Gl_n(\R) pour tout x \in R^n


le théorème d'inversion locale implique que toute courbe de niveau de f est un ensemble (éventuellement vide) de points isolés

donc en particulier aucune chance d'avoir un chemin continu contenu dans une courbe de niveau

Posté par
FerreSucre
re : Différentiel 13-04-24 à 19:17

Oui puis je me suis rendu compte que si on pose H(t) ce chemin parcouru en fonction de t, comme f est de classe C^1 et que f(H(t)) = constante donc df(H(t))*H'(t) = 0, alors df(H(t)) = 0, ce qui contredit l'énoncé. Ce chemin ne peut pas exister effectivement ! Merci



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