Lire dans la première somme

Bonjour,
La differentielle en 0?
Si oui, alors un developpement limité te donne simplement le résultat, c'est l'identité.
En un autre point (disons a) la formule est plus compliqué et est donnée en fonction de l'action adjointe, c'est


où .
Tu peux étudier les "sous groupes à 1 paramètre passant par a" (c'est à dire les applications f: R->G=GLn, tels que exp(-a)f(.) soit un morphisme de groupe) pour pour prouver cette formule.

En general et pour la raison que l'a donné plus haut, on omet le exp(a)^{-1} en facteur et on donne simplement [tex] \frac{1-[e^{\text{ad}(a)}{\text{ad}(a)}\bullet/tex] comme formule, c'est alors la differentielle de exp(-a)exp(a+.) en 0.

Bonjour,

Je parle évidemment de la différentielle de exp en une matrice M quelconque.
Je n'ai pas compris la première moitié de votre message sur le crochet de Lie, qui mène à des considérations qui me semblent assez éloignées du programme de MP. Je n'arrive pas à lire la deuxième partie de votre message à cause d'une erreur de latek.
J'ai vu souvent ce genre d'explications avec le crochet de Lie sur des forums mais est-ce la seule ? Est-ce qu'un calcul plus élémentaire permet d'aboutir ? Sinon tant pis merci en tout cas

Je m'apercois que j'ai pas repondu totalement à ta question, pour prouver ton inversion, tu peux prouver une convergence normale locale des differentielles.
Tu vois que pour une certaine constante C, qui ne dépend que du choix de la norme d'algèbre.
Il te reste à prouver que , ce qui est clair.

Re, je n'ai pas encore étudier vos dernières réponses. Mais je veux obtenir :

En fait mon objectif est d'avoir bon à la question "Calculer la différentielle de exp en M" pour un niveau prépa. Je ne sais pas trop si c'est suffisant cela dit, votre dernier message m'invite à penser que non...

   Soient E une  -algèbre normée complète  et a E . .  

1. Pour tout x  de E  A(x) :=     { 1/(p + q + 1)!).a^pxa^q │ (p , q)   ² } est  sommable et  si on désigne par u(x) sa somme on a ||u(x)||   ||x]].exp([[a||)  .
Ce qui prouve que  x u(x)   est   un endomorphisme continu de E ( u L_c(E,E)) .  

2.Pour tout x de E    ,    exp(a+x)  - exp(a) - u(x)  est la somme s(x) d'une partie B de   A .
On vérifie  assez facilement que   x   ||s(x)||/||x||²    converge  lorsque x 0  .

Cela montre que exp est différentiable au point a et que u ;= d_aexp .