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Différentielle de la trace
Bonjour, je bloque sur un exercice ; voici l'énoncé
"Soit k dans N* et, pour M dans Mn(R), fk(M) = tr(Mk)
Montrer que fk est de classe C1, expliciter sa différentielle au point M"
Bon déjà, la classe C1 se justifie par le fait que la trace est linéaire donc C1 et M->Mk est une application polynomiale, donc C1.
Pour me familiariser un peu avec les méthodes j'ai tenté de faire les trois premiers cas pour le calcul de la différentielle...
k = 1
M -> tr(M) est linéaire, donc df1(M) : H -> tr(H)
k = 2
f2(M+H) - f2(M) = tr(M²+HM+MH+H²) - tr(M²) = tr(HM+MH) + tr(H²) = 2tr(MH)
Ici apparait mon premier problème ; je sais que tr(H²) = o( ||H|| ) mais je ne comprends pas pourquoi
(j'ai un peu de mal avec les normes de matrices...)
Après on a immédiatement df2(M) : H -> 2tr(MH)
k = 3
f3(M+H) - f3(M) = tr(M3+MHM+M²H+MH²+HM²+H²M+HMH+H3) - tr(M3)
Après simplifications,
f3(M+H) - f3(M) = 3tr(M²H) + 3tr(MH²) + tr(H3)
Ici je suppose que c'est 3tr(MH²)+tr(H3) qui est négligeable devant la norme de H, mais je ne vois pas non plus pourquoi (enfin je suppose qu'en sachant pour k=2, c'est la même chose ou presque)
Ensuite df3(M) : H -> 3tr(M²H)
Donc il apparait une conjecture : dfk(M) : H -> k tr(Mk-1H)
Évidemment, comme il n'y a pas de commutativité entre M et H on a pas de formule exacte pour l'expression de (M+H)k, il est donc impossible de traiter le cas général comme je l'ai fait pour les premiers cas.
C'est pourquoi j'ai pensé me tourner vers une démonstration par récurrence, mais je n'arrive pas à la mettre en place, je n'arrive pas à faire apparaitre dfk pour déterminer dfk+1.
Merci d'avoir pris connaissance de mon problème, et merci d'avance pour toutes vos réponses ou pistes de réflexion.
Bonjour
Le mieux est de le traiter comme fonction composée:
D'abord la fonction est linéaire en
, puis ce que j'ai appellé "le reste" est une énorme somme dans laquelle figurent à chaque fois au moins deux
. On voit que ça peut s'écrire
avec
tendant vers 0 quand
tend vers 0.
Avec ça tu démontres que et ensuite tu composes avec une application linéaire!
Tu peux fixer une norme matricielle pour écrire des comparaisons explicites, par exemple la norme subordonnée à
Peux-tu alors majorer en fonction de
et
?
Ensuite, pourquoi es-tu bloqué ? Le manque de commutativité ne t'a pas empêché de traiter le cas , par exemple...
Camélia :
Soit k dans N*
On pose
F : Mn(R) -> Mn(R)
M -> Mk
Alors f = tr(F(M))
On utilise la règle de la chaîne : pour H dans Mn(R), on a :
dfM(H) = tr(dFM(H)) car la trace est linéaire.
On détermine ensuite dFM(H)
(M+H)k= Mk + 
M(H) + R(H)
où M(H) = HMk-1 + ... + Mk-1H (somme de tous les termes du développement de (M+H)k contenant une et une seule fois H)
R(H) est le reste, qui contient tous les termes du développement où H apparait au moins deux fois.
Chacun de ces termes est négligeable devant la norme de H, donc R(H) aussi.
Etant donné que M est linéaire, on a :
dFM(H) = HMk-1 + ... + Mk-1H
Ainsi,
dfM(H) = tr(HMk-1 + ... + Mk-1H)
= k tr(Mk-1H) d'après les propriétés de la trace.
Est-ce correctement rédigé ? Merci beaucoup pour votre aide.
GaBuZoMeu :
C'est majoré par ||M||3||H||², donc dominé par ||H||², donc négligeable devant ||H||, est-ce bien cela ?
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