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Niveau LicenceMaths 2e/3e a
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Differentielle en un point

Posté par
maxxiiime
07-12-21 à 16:28

Bonjour.
Je ne vais pas demander aujourd'hui de l'aide pour un exercice, mais c'est une question de notation que je ne comprends pas.
Je présente l'énoncé pour être clair :
Soit A ∈ GLn(). On admet que l'application :
f : Mn() Mn()
       X A-X-1
est différentiable en tout XGLn(), de différentielle Df(X)H = X-1HX-1, HMn(), et qu'elle est inversible d'inverse DF(X)-1H=XHX.
Le schéma de Newton pour f s'écrirait alors, après calculs,
Xp+1 = Xp - DF(Xp)-1f(Xp) = 2Xp - XpAXp

En gros, je comprends tout jusqu'à ce que j'ai mis en rouge, je ne comprends pas trop la différence entre une différentielle et une différentielle en un point, donc ici, où est passé le H que donne l'énoncé ?
Et comment donc faire le calcul implicite de l'énoncé pour arriver du "noir" au "rouge" ? Il ne me manque donc que le dernier "=" en rouge...

Merci d'avance.
Cordialement

Posté par
etniopal
re : Differentielle en un point 07-12-21 à 17:11

La différentielle  de f au point X estun endomorphisme de   Mn( ) .
On peut le noter H   L(H) ou T L(T) .
Il n'y a pas de H particulier !

Posté par
Rintaro
re : Differentielle en un point 07-12-21 à 17:11

Bonjour,

Citation :
En gros, je comprends tout jusqu'à ce que j'ai mis en rouge, je ne comprends pas trop la différence entre une différentielle et une différentielle en un point


Soient (E,\|.\|_E) et (F,\|.\|_F) deux espaces vectoriels normés qu'on va supposer de dimension finie. Soit U un ouvert de E, et f : U F. Enfin, soit a un élément de U.

On dit que f est différentiable au point a s'il existe une application linéaire continue (toujours vraie en dimension finie) Df_a : E \to F telle que pour tout h dans un voisinage de zéro (équivalent : a+h dans un voisinage de a) :

f(a+h) = f(a) + Df_a(h) + o_{\|h\|_E \to 0}(\|h\|_E)

Cette application linéaire est appelée différentielle de f AU POINT a. Si f est partout différentiable, la différentielle de f est l'application :

Df : U \to L_C(E,F), ~~a \mapsto Df_a

(l'indice c à L est là pour rappeler la continuité, certes inutile en dimension finie, mais à ne pas oublier quand on passe à des Banach).

Voilà la différence. Dans ton cas, il suffit simplement d'appliquer la définition que tu as de la différentielle DF(Xp)^-1 en prenant H = f(Xp), les calculs se font assez bien

Posté par
Rintaro
re : Differentielle en un point 07-12-21 à 17:12

Bonjour etniopal, plus rapide que moi ! Je vous laisse tous les deux.

Bonne journée



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