Bonjour fusionfroide

Pour que ce résultat soit vrai, il faut au moins que le domaine sur lequel on se place soit connexe sinon la fonction est simplement constante sur chaque composante connexe.
Je réfléchis à la démo.

Kaiser

Ok merci !

J'avais vu un truc utilisant la connexité par arcs mais ce n'est pas dans le cours de calcul diff, ni la démo d'ailleurs!

Sue penses-tu de l'inégalité de la moyenne ?

*Que

Je pense avoir trouvé.
Condidérons U un ouvert connexe non vide et f une fonction définie et différentiable sur U de différentielle nulle.
Montrons que f est constante sur U.

Comme U est non vide, on peut considérer a dans U ainsi que l'ensemble E définie par

On va montrer que E=U en utilisant la connexité de U.
Pour cela, l'astuce est de montrer que E est ouvert et fermé dans U.

Tout d'abord, E est clairement fermé comme image réciproque du fermé par l'application continue f.

Ensuite, considérons x quelconque dans E.
Comme U est ouvert, alors il existe r>0 tel que la boule fermé B(x,r) est incluse dans U.
Les élément de cette boule s'écrivent sous la forme y=x+tu où t appartient à [0,r] et u appartient à la boule unité.

Fixons donc u dans la boule unité et considérons l'application g définie par g(t)=f(x+tu) pour t appartenant à [0,r].
g est clairement une fonction dérivable.
Comme la différentielle de f est nulle, la dérivée de g est nulle et donc g est constante sur l'intervalle [0,r].
En particulier, pour tout t, g(t)=g(0)=f(x)=f(a) car x est dans E.
D'où f(y)=f(a) pour tout y dans B(x,r), c'est-à-dire que B(x,r) est dans E, d'où E est ouvert dans U.

Or U est supposé connexe, donc E est soit vide, soit égal à E.
E étant non vide (car il contient a), on a E=U, d'où le résultat.

Kaiser

C'est vraiment très clair Kaiser !!

Merci beaucoup

Mais je t'en prie !