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Différentielle seconde d'une application bilinéaire

Posté par
Kernelpanic 13-03-19 à 20:30

Bonsoir,

je peine énormément sur les différentielles secondes... Nous avons vu hier ceci, et je ne comprends pas du tout le résultat ni même les notations (peut-être que vous les avez vu...) :

"B : \mathds{R}^m \to \mathds{R}^m ~~ bilineaire.
B est de classe C2. a, v et w trois vecteurs de R^m fixés. On a :

\{ [D^2B(a)](v)\}(w) = \frac{\partial}{\partial s}_{|s=0} \frac{\partial}{\partial t}_{|t=0} [ B(a +tv + sw) ]

= \frac{\partial}{\partial s}_{|s=0} \frac{\partial}{\partial t}_{|t=0} [ B( a_1 +tv_1 + sw_1, a_2 +tv_2 + sw_2) ]

= B(v_1, w_2) + B(w_1, v_2 ) "

Je sais que ça revient un peu à vous demander de lire dans une boule de cristal mais je tente quand même... Je suppose ici quand on emploie le signe des dérivées partielles avec t=0 et s=0, cela veut dire qu'on fait varier t et s vers 0 mais je ne comprends vraiment pas ce calcul... On calcule d'abord une dérivée directionnelle selon v puis ensuite selon w ? ...

Merci d'avance pour votre aide.

Posté par
Kernelpanicre : Différentielle seconde d'une application bilinéaire 13-03-19 à 20:30

Je viens de me rendre compte que l'on prend des vecteurs dans R^m mais on n'écrit que deux coordonnées lorsqu'on les décompose dans B... à remplacer R^m par R^2 je suppose

Posté par
jsvdbre : Différentielle seconde d'une application bilinéaire 13-03-19 à 23:06

Bonjour Kernelpanic.
Fixons déjà un cadre rigoureux en dimension finie. Donc :

B : E \times F \rightarrow G où E,F et G sont 3 ev de dimension finie.

Alors, cherchons déjà la différentielle première DB :

On calcule donc B(x+h;y+k) - B(x,y) = B(x;k) + B(h;y) + B(h;k)

On a donc \blue DB(x;y)(h;k) = B(x;k) + B(y;h) qui est bien linéaire continue en (h;k).

NB : dans le cas particulier où \green E = F = G = \R, on a \green B(x;y) = x.y et \green DB(x;y) = x.\textbf{dy} + y.\textbf{dx}

On vérifie aussi aisément que {\displaystyle \|B(h,k)\|\leq |\!|\!|B|\!|\!|\ \|h\|\ \|k\|\leq |\!|\!|B|\!|\!|\max(\|h\|,\|k\|)^{2}=|\!|\!|B|\!|\!|\ \|(h,k)\|^{2}=o(\|(h,k)\|)}

On peut constater que DB est linéaire :

Il suffit de calculer DB(x_1+x_2;y_1+y_2)(h;k) et de voir que cette quantité est égale à DB(x_1;y_1)(h;k)+DB(x_2;y_2)(h;k)

Par conséquent, pour tout (x;y),(h;k)\in E\times F, DDB(x;y)(h;k) = DB(h;k)

Et donc \forall (x,y)\in E\times F,~D^2B(x;y) = DB

L'application D^2B est donc l'application constante qui, à tout point de E x F associe l'application linéaire DB

On peut alors ajouter que D^3B = 0
____________________________
Pour mémoire

DB : E\times F \rightarrow \mathcal L(E\times F\rightarrow G)

D^2B : E\times F \rightarrow \mathcal L(E\times F\rightarrow \mathcal L(E\times F\rightarrow G))\approx \mathcal L_2(E\times F\rightarrow G)

où \mathcal L_2(E\times F\rightarrow G) désigne l'ensemble des application bilinéaires de (E \times F)^2 dans G

D^3B : E\times F \rightarrow \mathcal L_3(E\times F\rightarrow G)

où \mathcal L_3(E\times F\rightarrow G) désigne l'ensemble des application trilinéaires de (E \times F)^3 dans G

Posté par
etniopalre : Différentielle seconde d'une application bilinéaire 15-03-19 à 09:08

Soient X et Y des evn  et F : X   Y
1. Si F est   différentiable en  un point  a X   , sa différentielle au point a , DF(a) , est un élément de Lc(X,Y) .
Soient  u X et h u : X ,
t a + tu  .
L'application F o hu est différentiable en 0 et on a : D(F o hu)(0) =  DF(a)(u) .
On parle de "dérivation directionnelle "  .

2.Supposons  maintenant  que  F soit  différentiable ( partout)  et que DF soit différentiable  en un  point a .
jsvdb a expliqué dans un cas particulier ce qu'il se passe.
D(DF)(a) est un élément de Lc(X ,  Lc (X,Y))  ensemble identifié à BILc(X,Y) .
On note D²F(a) l'application ( x,y)   D(DF)(a) (x)(y) .

. Soient  (u , v) X²  et  hu,v  : ² X définie par (s,t) a + s.u + t.v  .
F o hu,v  : ² Y est  2 fois différentiable .
La relation entre  D²F(a)(u,v) et   les dérivées partielles de  F o hu,v   est
  D1,2 (F o hu,v) (0,0) = D²F(a)(u,v)
C'est ce qui tourmentait Kernelpanic  dans un cas particulier ( pour X , Y , F )

Posté par
Kernelpanicre : Différentielle seconde d'une application bilinéaire 15-03-19 à 11:17

Bonjour,

désolé pour le temps de réponse, ma fin de semaine est assez chargée niveau examens. D'abord : merci pour vos réponses. jsvdb est très précis et j'ai donc compris le cas particulier de mon application bilinéaire.
En revanche ce que etniopal m'intrigue pour la généralisation de mon problème, j'ai encore du mal à voir le lien avec les dérivées partielles de F o h(u,v) et la différentielle seconde... je vais tenter d'approfondir ça. Je reviens sur ce post si j'ai encore des questions, merci encore à vous deux

Posté par
Kernelpanicre : Différentielle seconde d'une application bilinéaire 15-03-19 à 11:43

J'ai enfin compris !! Par le calcul c'est vraiment laborieux de trouver

etniopal @ 15-03-2019 à 09:08


  D1,2 (F o hu,v) (0,0) = D²F(a)(u,v)


Si j'ai bien compris (et sinon cela veut dire que mes calculs sont faux...) grâce à l'isomorphisme
jsvdb @ 13-03-2019 à 23:06


\mathcal L(E\times F\rightarrow G))\approx \mathcal L_2(E\times F\rightarrow G)


on peut réecrire (dans le cadre de notre fonction F citée par etniopal) que
DF^2(a)(u,v) = D[DF(a)(u)](v)~ ?

Posté par
jsvdbre : Différentielle seconde d'une application bilinéaire 15-03-19 à 12:42

Oui et on peut avoir mieux dans certains cas :

si f est de classe C1 et deux fois différentiable en un point a, alors D2f(a)=DDf(a) est bilinéaire symétrique.

Ce qui fait dans ce cas D^2F(a)(u,v) = D[DF(a)(u)](v) =D^2F(a)(v,u) = D[DF(a)(v)](u) (attention à la place de la puissance 2)

Rappel : D^2f est mis pour D(Df)

Posté par
Kernelpanicre : Différentielle seconde d'une application bilinéaire 15-03-19 à 13:00

Oups, désolé pour la puissance de 2, faute de frappe...
En effet j'avais pu lire ce résultat dans un livre (je crois que c'était lié au théorème de Schwarz si mes souvenirs sont bons...) et il est utile pour montrer par exemple qu'une application n'est pas C2 en comparant les dérivées partielles d'ordre 2.

Merci encore pour cette aide et toutes ces précisions !
Bonne journée.


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